Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Приблизительно в половине случаев электрон попадает в центральную область
главного максимума, размер которой можно положить равным ширине этого
максимума, измеренной на уровне половины высоты (размер I на рис. 14).
Этот размер может быть заменен расстоянием от максимума до первого
минимума дифракционной картины. Угловое расстояние от максимума до
первого минимума примем за меру расходимости волны, описывающей движение
электрона, прошедшего через щель.
Направление на первый минимум определяется из условия
Рис. 14. Распределение интенсивности электронов после прохождения пучка
через щель.
Ах sin'# = Л.
(1.30)
§4. Принцип неопределенности
33
Отсюда
Х/Ах = sin$ " tg
(1.31)
Но tg?? = Рх/Ру, причем вместо рх следует писать так как эта
величина определяет разброс в импульсе:
Соотношение (1.33), выведенное нами для случая дифракции на щели, имеет
всеобщую применимость и носит название соотношения неопределенностей
Гейзенберга. Чем точнее мы определяем координату электрона (уменьшаем
ширину щели Ах), тем более неопределенным становится соответствующая
проекция импульса электрона.
Неопределенности в координате и в импульсе, которые входят в формулу
(1.33), происходят не от несовершенства наших знаний, а от того, что
волновая функция электрона действительно "размазана" по соответствующей
области Арх и Ах. Распределение по координате в рассмотренном случае
определяется шириной щели. Распределение по импульсам можно измерить не
только по виду дифракционной картины, но и непосредственно. Для этого
вместо фотопластинки нужно установить прибор, измеряющий импульс частиц
(например, по отражению от кристалла).
Рассмотрим еще один мысленный опыт. Определим положение электрона с
помощью микроскопа, как это показано на рис. 15. Здесь 1 - объектив
микроскопа, 2 - пучок света, направленный вдоль оси микроскопа и
освещающий электрон, 3 - электрон и 4 - его изображение. Точность
измерения координаты зависит от разрешающей силы микроскопа. В оптике
показывается, что разрешение Ах микроскопа определяется в основном
свойствами объектива и равно
tg 1? = Арх/Ру
Из (1.31) и (1.32) имеем
АрхАх " Ару.
Учитывая, что А = 2тт/к " 2тгН/ру, получим окончательно
(1.32)
АрхАх ~ 27тН.
(1.33)
Ах = А/ sini?,
(1.34)
где А - длина волны света, a sini? - апертура линзы. Из (1.34) видно, что
определить положение электрона с хорошей точностью можно лишь в том
случае, если апертура объектива достаточно велика.
34
Глава 1
Чтобы "увидеть" электрон, нужно, чтобы на нем испытал рассеяние хотя бы
один фотон. Рассеянный фотон проходит через точку, являющуюся
изображением электрона. Координата этой точки может быть определена.
После этого с точностью (1.34) определяется положение электрона. Испытав
соударение с электроном, фотон изменяет направление движения, а электрон
получает отдачу. Микроскоп не дает возможности определить, в какую
сторону отклонился рассеянный фотон, известно лишь, что после рассеяния
он проходит через объектив. Импульс отдачи электрона поэтому тоже
остается неизвестным.
Обозначим начальный импульс фотона через ру. У всякого фотона,
проходящего сквозь объектив, \Рх\ < Pytg'd. Так как знак рх при рассеянии
может быть любым, а величина лежит в указанных пределах, это неравенство
определяет на самом деле неопределенность проекции импульса фотона на ось
х. Импульс отдачи, полученный электроном, равен изменению импульса
фотона. Пренебрегая различием между синусом и тангенсом, найдем, что
неопределенность в импульсе электрона равна
Рис. 15. Измерение координаты электрона с помощью света.
Ар* = Ру tg $ ~ Ру sin $ = '
'Ах
пк\ = 2тгй Ах Ах
(При вычислениях sin$ был заменен на Х/Ах с помощью (1.34).) Умножая
равенство на Ах, получаем
Ах • Арх " 27ГЙ,
что находится в согласии с принципом неопределенностей Гейзенберга.
Отметим, что принцип Гейзенберга связывает неопределенность в координате
с неопределенностью проекции импульса на эту координату:
АхАрх " 27ГЙ, АуАру " 27ГЙ, AzApz " 2тгh.
(1.33')
В то же время принцип Гейзенберга не накладывает никаких ограничений на
точность измерения координаты х и проекции импульса на ось у или z и т.д.
Говоря о принципе неопределенности, следует иметь в виду, что он
определяет теоретический предел, который далеко не всегда достигается в
реальных приборах. Так, разрешение телевизора или качество биноклей и
фотоаппаратов связано вовсе не с принципом неопределенности,
§4. Принцип неопределенности
35
а с количеством точек, используемых для изображения (телевизоры) или с
качеством объективов (фотоаппараты). Однако никакой телевизор и никакой
фотоаппарат не могут превзойти ограничений, накладываемых принципом
Гейзенберга.
Обратимся теперь к математическому смыслу принципа неопределенности.
Пусть опыт по измерению координаты частицы показал, что эта частица
находится в некоторой точке, скажем в начале координат. Если измерение
координаты произведено с точностью а, то результат измерения, грубо
