Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Фазовая скорость совпадает с групповой лишь в том случае, если среда (в
нашем случае - вакуум) не обладает дисперсией, т. е. если фазовая
скорость распространения не зависит от частоты. Именно так обстоит дело
для фотонов. Электромагнитные волны, как следует из (1.21),
30
Глава 1
Ф О)
всегда распространяются в вакууме со скоростью с. Формула (1.22)
показывает, что у нерелятивистских частиц фазовая скорость зависит от
скорости (а значит, и от энергии) частицы и, следовательно, от частоты
со. Волны де Бройля обладают дисперсией даже при распространении в
вакууме.
Выясним теперь, какие волны следует сопоставлять частицам, наблюдаемым в
обычных, классически поставленных опытах. Классические опыты всегда
начинаются с того, что мы определяем положение частицы в некоторый момент
времени to. Пусть измерение координаты проделано с точностью Ах, т. е. мы
определили, что частица находится между хо и хо + Ах. С точки зрения
волновой (квантовой) теории это означает, что волновая функция частицы
равна нулю во всем пространстве, кроме участка, заключенного между хо и
хо + Ах (рис. 13). Ясно, что такая функция не является одной
монохроматической волной типа (1.19). Однако она может быть представлена
в виде совокупности таких волн.
Поскольку мы исследуем сейчас волновую функцию частиц в момент времени
to, зависимость волн от времени является пока несущественной. Запишем
отдельную волну в виде
х0 х0+Ах 1 Рис. 13. Волновой пакет.
ф(х) = Be
гкх
(1.23)
где
B = Ae~luJt. (1.24)
Изображенная на рис. 13 ^-функция, описывающая распределение частицы по
координате, как и всякая другая функция, по теореме Фурье может быть
представлена в виде интеграла:
оо
ф(х) = J B{k)eikxdk. (1.25)
- ОО
Состояние частицы в начальный момент времени определяется, таким образом,
наложением большого числа монохроматических волн, каждая из которых
движется со своей скоростью. Такое наложение волн, имеющее один резко
выраженный максимум, называется обычно волновым пакетом.
Во всякий другой момент времени положение части-
цы описывается, грубо говоря, местоположением максимума ^-функции.
§4. Принцип неопределенности
31
Из оптики известно, что скорость движения волнового пакета равна
групповой скорости волны и вычисляется по формуле
г;гр = duo/dk (1.26)
С помощью (1.1) и (1.15) для волнового пакета получим
г;гр = duo/dk = dE/dp. (1-27)
Вычислим с помощью (1.27) групповую скорость фотонов и нерелятивистских
частиц. Для фотонов имеем
v _dE _ фс) , ,
Urp ~ dp~ dp ~C' 1
чего и следовало ожидать. Для нерелятивистских частиц найдем
о-""
Таким образом, групповая скорость плоской волны действительно равна
скорости частицы. Если скорости частиц велики, то групповую скорость
проще всего найти, дифференцируя соотношение Е2 =р2с2 + ш2с4:
2
2 Е dE = 2 pc2dp, vrp = Щ = = v.
v dp Е
Вычисление фазовой скорости плоской волны по релятивистским формулам
приводит к результату, сильно отличающемуся от (1.22). Фазовая скорость
волны оказывается больше с, и при уменьшении скорости частиц она не
уменьшается, а увеличивается, поскольку, как оказывается,
-Угр-иф = С2.
При медленно движущихся (нерелятивистских) частицах это отличие, однако,
не приводит ни к каким новым физическим результатам.
§4. Принцип неопределенности
Мы уже убедились в том, что классические представления во многих случаях
оказываются неприменимыми к микрообъектам. В частности, движущимся
микрочастицам нельзя приписать определенных траекторий, т. е.
определенных значений координат в следующие один за другим моменты
времени.
32
Глава 1
Посмотрим, к чему приводит попытка точного определения координат у
электронов.
Рассмотрим электроны, проходящие через щель в экране Э и попадающие затем
на фотопластинку Ф (рис. 14). Мы уже знаем, что на фотопластинке будет
наблюдаться дифракционная картина. Пусть до прохождения через щель
электроны обладают вполне определенным импульсом ро (рх = 0, ру = ро? Pz
= 0). Такие электроны описываются плоской волной с ко = po/h. Так как
плоская волна распределена по всему пространству, то и каждый электрон
так же размазан.
Электроны, прошедшие через щель, уже не описываются плоской волной.
Соответствующая волна является расходящейся, причем интенсивность волны
сложным образом зависит от направления. Как видно из рисунка,
распространение расходящейся волны происходит в разных направлениях, так
что волна не имеет определенного волнового вектора к и, следовательно,
электроны, прошедшие через щель, больше не обладают импульсом ро. При
прохождении через щель у электронов наиболее заметно меняется проекция
импульса рх на ось, параллельную ширине щели.
Оценим по порядку величины разброс в величине рх. Обозначим через Ах
ширину щели. Рассмотрим какой-либо электрон, прошедший через щель.
Указать заранее, в какое место фотопластинки попадет электрон,
невозможно. Однако вероятность его попадания в разные места фотопластинки
определяется дифракционной картиной, изображенной на рисунке.
