Оптика - Годжаев Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Соответствующее построение показывает, что изображение точки М на первой
сферической поверхности, разграничивающей среды с показателями
преломления слева (лх) и справа (п2), находится на расстоянии М-уА - а от
этой поверхности. Тогда, согласно
180
формуле сферической (для первой поверхности в нашем случае) поверхности,
имеем
n1/a1 - n/a = (nx - n)/Rx. ¦ (7.12)
Как мы условились, построим теперь изображение точки Мща второй
преломляющей поверхности, разграничивающей среды с показателями
преломления слева - п, справа - и2. Этим изображением является точка М2,
расположенная на расстоянии аг от этой поверхности. В этом случае имеем
п/а - п.2/а2 = (п - n2)/R2. (7.13)
Так как обычно линза с обеих сторон охватывается одинаковой средой,
то пх = п2. Тогда, складывая (7.12) и (7.13), получим
1 /а2 - 1 /ах = (N - 1) (1 /Rх - 1 /R2), (7.14)
где N = п/пх - показатель преломления материала линзы относительно
окружающей среды (относительный показатель преломления). Формула (7.14)
является формулой тонкой линзы и верна как для выпуклых, так и для
вогнутых линз при произвольном расположении точки М. При ах = -оо получим
ai = fy - 1/(W- 1) (|r - ^). (7.15)
При а2 - оо имеем
а1 = /2_-1/(Л'-1)(Т-Щ). (7.16)
Как видно, f1 = - /3, т. е. фокусные расстояния линзы, окруженной с обеих
сторон одинаковой средой, равны. Знак минус показывает, что фокусы
расположены по разные стороны от линзы.
Исходя из выражений (7.14) и (7.16), формулу линзы можно написать в более
простом виде:
1/й2- l/fli= 1//Т. (7.17)
Применяя эту формулу для разных случаев, можно получить из нее конкретные
результаты. При работе с формулами (7.14) и (7.17) не следует забывать,
что величины справа от линзы положительные, слева - отрицательные.
Плоскости, проходящие через фокусы линзы, перпендикулярные главной
оптической оси, называются фокальными плоскостями.
Построение изображения в тонкой линзе. Все вышеизложенное позволяет легко
определить ход лучей, необходимых для построения изображения в тонкой
линзе:
1) луч, падающий параллельно оптической оси линзы, после преломления
пересекает данную ось по другую сторону линзы в точке, расположенной на
расстоянии f от нее;
2) луч, падающий на линзу и проходящий через ее фокус, выходит из линзы
параллельно ее оптической оси;
3) луч, проходящий через оптический центр линзы, не изменяет своего
направления,
181
Выше мы построили изображение точки в тонкой линзе, расположенной на ее
главной оптической оси. Построим теперь изображение отрезка АХВХ длиной
ух (рис. 7.14) в тонкой линзе. Для этого достаточно построить изображение
точки Вх. При построении будем пользоваться лучами, направления которых
после преломления в линзе известны. Изображением отрезка АХВХ в линзе
будет отрезок длиной Л3В2. Расстояния предмета и его изображения от
фокусов Fx и F2 соответственно обозначим через хх и хг. Отношение Р =
Уч/Ух называется линейным увеличением линзы. Отрицательным значениям р
соответствует действительное, а положительным - мнимое изображение.
Вывод формулы линзы без ограничения на ее толщину. Пользуясь рис. 7.14,
можно вывести более общую формулу линзы, полностью эквивалентную формуле
(7.17), без каких-либо ограничений
на ее толщину. Из треугольников AXBXFX и FxOC2t а также CxOF2 и A2F2B2
имеем:
yi/Xi = y2lf и yt/x2 = y1/f.
Определяя увеличение у2/ух в обеих выражениях, получим
Р = Уч/Ух = fix х = x.2/f. (7.18)
Выражение (7.18) определяет увеличение линзы через фокусное расстояние.
Из выражения (7.18) имеем
xxx2 = f\ (7.19)
Выражение (7.19) является формулой линзы произвольной толщины. Так как ах
- хх -f f, а2 = / + х2 (во всех этих вычислениях мы пользовались
абсолютными значениями величин ах, а2, хх, х2 и f), то легко убедиться,
что формулы (7.19) и (7.17) полностью совпадают (доказательство
поручается читателю).
Плоскость предмета АХВХ и плоскость его изображения А2В2 называются
плоскостями, сопряженными по отношению к тонкой линзе. Сопряженные
плоскости называются главными, если им соответствует р = 1, т. е.
изображение получается прямым и в натуральную величину предмета. Точки
пересечения главных плоскостей с главной оптической осью называются
главными точками линзы. Для тонкой линзы главные плоскости сливаются в
одну, проходящую через оптический центр и перпендикулярную главной
оптичес-
182
кой оси. Следовательно, для тонкой линзы обе главные точки совмещены с ее
оптическим центром.
Суммируя вышеизложенное, приходим к выводу, что тонкая линза
характеризуется двумя фокусами (так называемыми передним и задним), двумя
фокальными плоскостями, одной главной точкой, совмещенной с оптическим
центром линзы, и одной главной плоскостью. В следующем параграфе увидим,
что линза характеризуется также узловыми точками и узловыми плоскостями.
Для тонкой линзы узловая точка совпадает с главной, а узловая плоскость -
с главной плоскостью.
§ 5. ЦЕНТРИРОВАННАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА И ЕЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Теория Гаусса. Из-за наличия разных искажений простейшая центрированная
