Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
(х-а)2 , --- z2
,___ - О-'*) ABCyflb ~ —
1 = ВСуГЪк$г 2А dx =—---------- fe 2 dz =
\Л - г2
2АВСтг
2
Отсюда С =
2тгАВ
Если г2 Ф 1, то мы положим
А = ax\Jl -г2, В = а2\/1 -г2.
В этих новых обозначениях двумерный нормальный закон принимает такой вид:
1
F{xi,x2) =------------X
2паха2\/\ -г2
Х . Х 2---------------—
2(1 -г2)
(х-а)2 (х-а)(у-Ь) (у-Ъ)’
----------2г-------------- +--------
dxdy.
Теоретико-вероятностный смысл входящих в эту формулу параметров будет выяснен в следующей главе.
Подобно тому как это было сделано в одномерном случае, для многомерных функций распределения можно установить ряд свойств. Мы приведем их формулировки, предоставив читателю их доказательства. Функция распределения
1) есть неубывающая функция по каждому аргументу,
2) непрерывна слева по каждому аргументу,
3) удовлетворяет соотношениям
F{+ °° , + . . . , + °°) = 1,
§ 20. Многомерные функции распределения
131
lim F(xi, х2,.. . , хп) =0 (1 < к < п)
хк - -«
при произвольных значениях остальных аргументов.
В одномерном случае мы видели, что перечисленные свойства необходимы и достаточны, чтобы функция F (х) была функцией распределения некоторой случайной величины. В многомерном случае, оказывается, этих свойств уже недостаточно. Для того чтобы функция F (xt, . . . , хп) была функцией распределения, помимо перечисленных трех свойств, нужно добавить еще следующее:
4) при любых я,- и bt (7=1,2,...,«) выражение (1) не отрицательно. Что это требование может быть не выполнено, несмотря на наличие у функции F (хи ¦ ¦ ¦ , х„) свойств 1 - 3, показывает следующий пример. Пусть
[0, если х < 0, или х+у < 1, или у < 0,
Fix, у) =
11 в остальной части плоскости.
Эта функция удовлетворяет требованиям 1 — 3, но для нее
F(l, 1) —F(l, 1/2) —F(l/2, 1) +F(l/2, 1/2) = -1, (3)
и, следовательно, четвертое требование не выполнено.
Функция F (х, у) не может быть функцией распределения, так как разность (3) согласно соотношению (1) равна вероятности попадания точки (ё 1 > ё2) в прямоугольник 1/2 < < 1, 1/2 < < 1-
Если существует такая функция р (х\, х2, . .. , х„), что при любых
Xi,x2,. . . ,хп имеет место равенство
Xj X 2 Xft
F(xux2,------х„)= f f ... f p(zu z2,. . ., zn)dzn. . . dz2 dzu
_00 _00 _00
то эта функция называется плотностью распределения вероятностей случайного вектора (?1, ,. . . , ?„). Легко видеть, что плотность распределения
обладает следующими свойствами:
1) Р(х 1, ......х„)>0.
2) Вероятность попадания точки { %2, . . . , ?„) в какую-нибудь
область G равна
/... fp(xlr------х„) dx„. , . dx j.
G
В частности, если функция (х1,х2,. . . ,х„) непрерывна в точке ^е1,...,хп), то вероятность попадания точки (tjj. |2, ¦ ¦ • • ?„) в параллелепипед хк <хк +dxk (к = I, 2, . . . , п) с точностью до бесконечно малых выс-
132 Гл* 4. Случайные величины
ших порядков равна
p(xltx2,. . . , xn)dxYdx2 .. . dxn.
ПримерЗ. В качестве примера «-мерной случайной величины,имеющей плотность, приведем величину, равномерно распределенную в л-мерной области G. Если через V обозначим л-мерный объем области G, то плотность распределения будет равна
ГО, если (xltx2,... ,хп)Ш G, р(хих2,... ,х„) = \
V1 /V, если (*!, х2,... , х„) G G.
Пример 4. Плотность двумерного нормального закона дается формулой
1 1
р{х,у)=------Г----j-e 2(1-rJ)
2а2 — т
(jc —а)1 _ 2г (*-дКу-ь) + (У-Ь)*
Заметим, что плотность нормального распределения сохраняет постоянное значение на эллипсах
(х-а? (х - а)(у -Ь) (у- bf
— -2Г..........^
2г±-------—— =Х , (4)
01 01 Oj
где X — постоянное; на этом основании эллипсы (4) носят название эллипсов равных вероятностей.
Найдем вероятность попадания точки (gi, ) внутрь эллипса (4). По
определению плотности
PW = S / Р(*> У) dx dy, (5)
G(\)
где через G(\) обозначена область, ограниченная эллипсом (4). Для вычисления этого интеграла введем полярные координаты
х - а = р cos в, у — b = р sin в.
Интеграл (5) при этом принимает вид
1 2п X/s VlV -Л— j2
---------7----з / / е 2 pdpdd,
2nOi 02 yjl — г О о
где для краткости обозначено
