Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Разнообразие случайных величин весьма велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счетным или несчетным; значения могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы сплошь или же не заполнять интервалы, но располагаться всюду плотно. Для того чтобы задавать вероятности значений случайных величин, столь различных по своей природе, и притом задавать их одним и тем же способом, в теории вероятностей вводят понятие функции распределения случайной величины.
Пусть ? — случайная величина их-- произвольное действительное число. Вероятность того, что ? примет значение, меньшее чем х, называется функцией распределения вероятностей случайной величины ?:
F{x) = Р{?<х} .
Условимся в дальнейшем, как правило, случайные величины обозначать греческими буквами, а принимаемые ими значения -- строчными латинскими.
Резюмируем сказанное: случайной величиной называется величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей*).
Рассмотрим примеры функций распределения.
Пример 1. Обозначим через ц число появлений события А в последовательности п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность его появления постоянна и равна р. В зависимости от случая ц может принимать все целочисленные значения от 0 до п включительно. Согласно результатам главы 2
P„im) =Р{ц = т) = С,Гр'"я" т
Само собой разумеется, что этими словами мы не дали математического определения новому понятию, а только описали то общее представление, которое складывается у человека, знакомящегося с реальными примерами случайных величин.
*) На с. 119 дано формализованное определение случайной величины.
118
Гл. 4. Случайные величины
Функция распределения величины н определяется следующим способом:
О для jc<0,
F(x)
2 Р„(к) для 0 <х<п,
к<х
1 для х >п.
Функция распределения представляет собой ступенчатую линию со скачками в точках jc = 0,1, 2,. .., л; скачок в точке лс = к равен Р„ (к).
Рассмотренный пример показывает, что так называемая схема Бернулли может быть включена в общую теорию случайных величин.
Пример 2. Пусть случайная величина ? принимает значения 0, 1, 2, . . . с вероятностями
Апе-Х
р„ = Р{? = л} =------- — (л = 0, 1,2, . . .),
п\
где X > 0 — постоянная. Функция распределения величины ? представляет собой как бы лестницу с бесконечным числом ступенек, со скачками во всех неотрицательных целочисленных точках. Величина скачка в точке х - п равна рп; при х < 0 имеем F (jc) = 0. Про случайную величину, рассмотренную в настоящем примере, говорят, что она распределена по закону Пуассона.
Пример 3. Мы скажем, что случайная величина нормально распреде-.tcita, если ее функция распределения имеет вид
Ф(х) = С / е 2°2 \dz,
__оо
где С > 0, а > 0, а — постоянные. Впоследствии мы установим связь между постоянными о и С и выясним теоретико-вероятностный смысА параметров а и ст. Нормально распределенные случайные величины играют особо важную роль в теории вероятностей и ее приложениях, в дальнейшем у нас будет много поводов убедиться в этом.
Заметим, что если в двух первых рассмотренных нами примерах случайные величины могли принимать только конечное или счетное множество значений (дискретные величины), то случайные величины, распределенные по нормальному закону могут принимать значения из любого интервала. Действительно, как мы увидим ниже, вероятность нормально распределенной случайной величине принять значение, заключающееся в интервале хj <? < х2, равна
(г -а)2
Ф(*2) - Ф(*,) = С/ С 2ог dz
и, следовательно, при любых jc, Hjt2(jc, Фх2) положительна.
§ 18. Основные свойства функций распределения
119
После сделанных нами замечаний интуитивного характера можно перейти и к изложению принятого теперь строго формального определения случайной величины.
В соответствии с общим аксиоматическим понятием случайного события, мы будем исходить из множества элементарных событий П. Каждому элементарному событию со поставим в соответствие некоторое число
?=/м.
Мы скажем, что ? есть случайная величин а, ёсли функция /(со) измерима относительно введенной в рассматриваемом множестве ^вероятности. Иначе говоря, мы требуем, чтобы для каждого измеримого по Борелю множества Ag значений ? множество Аш тех со, для которых f (со) принадлежало множеству F случайных событий и, следовательно, для него была бы определена вероятность
Р{?С А^} =Р {AJ.
В частности, если множество А^ совпадает с полупрямой ? < х, то вероятность Р {/1ш} есть функция переменного х
р{Кх} = р(лы>=ад,
которую мы назвали функцией распределения случайной величины ?.
Пример 4. Рассмотрим последовательность п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. В этом примере элементарные события состоят из последовательностей появлений и непоявлений события А в п испытаниях. Так, одним из элементарных событий будет появление события А в каждом из испытаний. Всего, как нетрудно подсчитать, будет 2” элементарных событий.
