Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
системе, находящейся в момент f0 в состоянии jc, в момент t перейти в одно из состояний множества Е.
Если дополнительное знание состояний системы в моменты f < f 0 не изменяет этой вероятности, то естественно назвать выделенный нами класс случайных процессов процессами без последействия или за их аналогию с цепями Маркова — процессами марковского типа.
Общее понятие случайного процесса, базирующееся на изложенной ранее аксиоматике теории вероятностей, может быть введено следующим образом. Пусть ?2 — множество элементарных событий и f — непрерывный параметр. Случайным процессом называется функция двух аргументов
?(0 = <^(со, Г) (со S Г2).
Для каждого значения параметра t функция >р (со, f) является функцией только со и, следовательно, представляет собой случайную величину. Для каждого фиксированного значения со (т.е. для каждого заданного элементарного события) i/з (со, f) зависит только от f и является, таким образом, обычной функцией одного вещественного аргумента. Каждая такая функция называется реализацией случайного процесса % (f). На случайный процесс можно смотреть либо как на совокупность случайных величин ? (г), зависящих от параметра t, либо как на совокупность реализаций процесса ? (f). Естественно, что при этом для определения случайного процесса необходимо задать вероятностную меру в пространстве реализаций процесса.
Почти вся настоящая глава будет посвящена изучению процессов без последействия и только в последнем параграфе мы дадим представление
о стационарных процессах.
§ 50. Процесс Пуассона
Мы начнем краткое знакомство с некоторыми фактами теории случайных процессов с рассмотрения одного важного примера процесса без последействия, играющего большую роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности. По-видимому, впервые этот процесс был подвергнут исследованию в начале нашего столетия физиками А. Эйнштейном и М. Смолуховским в связи с задачами броуновского движения.
Предположим, что в случайные моменты времени происходит некоторое событие. Нас интересует число появлений этого события в промежуток времени от 0 до t. Обозначим это число через 1(f)- Относительно процесса появления события мы предположим, что он: 1) стационарен, 2) без последействия и 3) ординарен. В перечисленные предположения вкладывается следующий смысл.
§50. Процесс Пуассона
295
1.Стационарность означает, что для любой группы из конечного числа непересекающихся промежутков времени вероятность наступления определенного числа событий на протяжении каждого из них зависит только от этих чисел и от длительности промежутков времени, но не изменяется от сдвига всех отрезков времени на одну и ту же величину. В частности, вероятность появления к событий в течение промежутка времени от г до г + / не зависит от г и является функцией только к и t.
2. Отсутствие последействия означает, что вероятность наступления к событий в течение промежутка времени (г, г + t) не зависит от того, сколько раз и как появлялись события ранее. Это предположение означает, что условная вероятность появления событий за промежуток времени (г, г + t) при любом предположении о наступлении событий до момента т совпадает с безусловной вероятностью. В частности, отсутствие последействия означает взаимную независимость появления того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.
3. Ординарность выражает собой требование практической невозможности появления двух или нескольких событий за малый промежуток времени At. Обозначим через Р>{ (At) вероятность появления более чем одного события за промежуток времени At. Тогда условие ординарности в точном его выражении состоит в следующем:
P>i(AO = о (At ).
Наша ближайшая задача состоит в определении вероятностей P^(t) того, что за промежуток длительности t произойдут к событий. В силу сделанных предположений эти вероятности не зависят от того, где расположен этот отрезок времени. С этой целью обнаружим, что при малых At имеет место равенство
Pi(At) = ХД t + o(At),
где X — постоянное.
Действительно, рассмотрим промежуток времени длительности 1 и обозначим через р вероятность того, что за этот срок не наступит ни одно событие. Разобьем наш промежуток на п равных непересекающихся частей. В силу первого и второго предположений имеет место равенство р= [Р0 (1 !п)] ”, откуда Р0 (1/и) = р11п. Отсюда при любом целом к
Ро(к/п) = рк!п.
Пусть теперь t - некоторое неотрицательное число. При любом п можно найти такое к, что (к - 1)/и < г < к/п. Так как вероятность Р0 (t) есть
296
Гл. 10. Теория стохастических процессов
убывающая функция времени, то
(
к - 1
п
)
>P0(t)>P0
Пусть теперь к и п стремятся к бесконечности так, чтобы к
lim — - t.
Так как Р0 (/), как вероятность, удовлетворяет неравенствам
0 < Ро (О < 1, то могут представиться три следующих случая: 1) р = 0, 2) р = 1, 3) 0 < р< 1. Первые два случая малоинтересны. В первом из них при любом t имеет место равенство Ро (О = 0 и, значит, вероятность за промежуток времени любой длительности произойти хотя бы одному событию равна единице. Другими словами, с вероятностью единица за промежуток времени любой длительности происходит бесконечно много событий. Во втором случае Po(t) = 1 и, следовательно, события не наступают. Интерес представляет лишь третий случай, в котором положим р = е~х , где X — некоторое положительное число (X = — In р).
