Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
оо
Ы0= 5 [fnn(t))zdAn(z).
0
В математическом анализе известна теорема *), согласно которой, если последовательность равностепенно ограниченных непрерывных функций /„ (х) сходится к функции /(х) во всех точках прямой, а монотонные ограниченные функции Ап{ х) при всех х сходятся к функции А (х), то при п ->-оо
ОО ОО
/ fn(x)dAn(x) -> / f(x)dA(x).
о о
В силу этой теоремы и условий А) и В) теоремы переноса при п-Усо
1Ы0-* 'P(t) = / v\t)dA(z).
о
Теорема доказана.
Укажем теперь некоторые следствия из теоремы переноса.
Следствие 1. Пусть функция Ф(х) - безгранично делима и ‘p(t) -ее характеристическая функция; тогда функция
1
|//(0 =-------------
1 -inv?(0
является также характеристической ( и, как позднее будет показано, также безгранично делимой).
Действительно, мы знаем, что для любой безгранично делимой функции Ф(х) можно найти такую последовательность {?„} и независимых величин Хпк > что выполняется условие А) теоремы переноса. Выберем теперь такие v„, чтобы А(х) = 1 — е ~х. Это можно сделать многими способами, например, выбрав v„ распределенными геометрически с соответственным значением параметра. Этим самым выполнено и условие Б) теоремы переноса.
*) См. Ду бровский В.М. О некоторых свойствах вполне аддитивных функций множества и их предельном переходе под знаком интеграла // Изв. АН СССР Серия мат. - 1945. - Т. 9. - С. 311 -320; 1947. - Т. 11. - С. 101 - 104.
§ 48. Суммирование в случайном числе 287
Тогда мы знаем, что, в силу В), функция
= / №(t)YdA(z) = /e~z(1-|n ^СО)^ = —_L
о о 1 - 1п^(г)
является характеристической.
В частности, если функция Ф(х) является нормальной =е~{ ^2),
2
то = ----------. Соответствующая ей функция распределейия Ф (х) опре-
2 + t2
деляется формулой
Ф(х) = I
0,5 ех при д: < 0,
I 1 — 0,5 е х при х > 0.
Обычно распределение Лапласа определяют, указывая его плотность распределения. В нашем случае она равна р(х) = е~ 1 * 1 .
Позднее мы увидим, что при А(х) = 1 — е~х распределение Лапласа при суммировании до случайного индекса играет такую же роль, как и нормальное распределение в классической постановке предельных теорем для сумм одинаково распределенных независимых слагаемых.
Следствие 2. Условия, при которых функции распределения сумм
*п - Znl + ?л2 + • ¦ • + %пкп
одинаково распределенных независимых слагаемых сходятся к предельному распределению Ф(х) достаточны для того, чтобы функции распределения сумм
svn ~ ?nl + ?п2 + . . . + %nvn
сходились к распределению Ф (х).
Следствие непосредственно вытекает из теоремы переноса. Следствие 3. Пусть {§„} — последовательность одинаково распре-
&к - а
деленных независимых случайных величин и %пк =---------------- , где действи-
В„
тельные постоянные а и Вп > 0 таковы, что функции распределения сумм
288
I л. у. 1еория оезгранично делимых законов
_ j
s„ = — 2 (Хк ~ а) сходятся к Ф(х). Пусть, далее, выполнено усло-
Вп к = 1
вие Б) теоремы переноса. Тогда при сделанном выборе постоянных а и Вп
_ 1
функции распределения сумм sVn ~----------- 2 (Хк -¦ а) также сходятся
Вп к = 1
к предельной ’'i'(x).
Следствие непосредственно вытекает из теоремы переноса.
Заслуживает внимания то обстоятельство, что при всех возможных предельных распределениях А(х) нормирующие множители Вп и центрирующие коэффициенты а могут быть выбраны раз и навсегда одинаковыми.
Замечание В.Феллера. Нас. 642 второго тома замечательной книги В.Феллера ’’Введение в теорию вероятностей и ее приложения” (М.: Мир, 1984) имеется такое замечание: если в формуле (1) функция А(х) безгранично делима, то и функция Ф (х) безгранично делима.
Доказательство этого факта вытекает из того факта, что если случайная величина и с функцией распределения А (х) представима в виде суммы v = у, + i>2 независимых случайных величин vl и v2, то \p(t) = (O'WO из определения безграничной делимости.
Упражнения
1. Доказать, что распределения
а) Паскаля (упр. 1 а к гл. 5),
б) Полна (упр. 16 к гл. 5),
в) Коши (пример 5 § 24) безгранично делимы.
2. Доказать, что случайная величина с плотностью распределения
Р(х) =
О
при х < 0,
-Рх
х~ "е при х > 0.
Г(а)
где а > О, (3 > 0 - постоянные, безгранично делима.
