Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пример I. В облигациях наших государственных займов номера серии обычно выражаются пятизначными числами. Найти вероятность того, что последняя цифра наудачу взятой выигравшей серии равна 7 (как, например, в серии № 59607). Для этого согласно нашему определению вероятности необходимо рассмотреть длинный ряд тиражных таблиц и подсчитать, сколько выигравших серий имеют номера, оканчивающиеся цифрой 7; отношение этого числа к общему числу выигравших серий п будет искомою вероятностью. Однако каждая из десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 имеет столько же оснований оказаться на последнем месте в номере выигравшей серии, как и любая другая. Поэтому без всяких колебаний высказываем предположение, что искомая вероятность равна 0,1. Правильность этого теоретического «предвндеппя» легко проверяется: произведя все необходимые подсчеты в пределах какой-нибудь одной тиражной таблицы, можно убедиться, что действительно любая из 10 цифр будет
1
стоять на последнем месте примерно в всех случаев.
Пример 2. Телефонная линия, соединяющая два пункта А п В, отстоящих друг от друга на расстоянии
/ 2 3
6 S S
Рис. 2.
21
ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ 2
2 км, порвалась в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что она порвалась не далее чем в 450 м от пункта А? Разложив мысленно всю линию на отдельные метры, мы можем, в силу реальной однородности всех этих участков, допустить, что вероя!-ность обрыва одна и та же для каждого метра. Отсюда, подобно предыдущему, легко находим, что искомая вероятность равна 450
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ
§ 7. Понятие условной вероятности
Электрические лампочки производятся на двух заводах, причем первый из них поставляет 70%. а второй 30% всем потребляемой продукции. Из каждых ста лампочек первого завода в среднем 83 стандартных*), а из ста лампочек второго завода — лишь 63 стандартных.
Как легко подсчитать из Зт-их данных, в среднем па каждые 100 электрических лампочек, приобретаемых потребителем, приходится 77 стандартных**), и, следовательно, вероятность купить стандартную лампочку равна 0,77 Но допустим теперь, что мы выяснили, что лампочки, имеющиеся в магазине, изготовлены первым заводом. Тогда вероятность того, что лампочка стандартная, изменится — она будет равна
Рассмотренный пример показывает, что добавление к общим условиям, в которых происходит операция (в нашем примере — покупка лампочки), некоторого существенно нового условия (у нас в примере—•-
*) Мы станем называть лампочку стандартной (удовлетворяющей стандарту), если она способна прогореть не менее 1200 чагов; в противном случае мы назовем лампочку нестандартной.
**) Действительно, 0,7 • 83 + 0,3 ¦ 63 = 77.
26 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ПРАВПЛО УМНОЖЕНИЯ [ГЛ. 3
выяснения того, каким заводом изготовлена лампочка) может изменить вероятность того или иного исхода единичной операции. Это и понятно: ведь само определение понятия вероятности требует, чтобы совокупность условий, при которых проводится данная массовая операция, была точно определена. Присоединяя к этой совокупности какое-либо новое условие, мы, вообще говоря, существенно изменяем эту совокупность. Наша массовая операция проводится после этого уже в новых условиях; фактически, это — уже другая операция, а потому и вероятность того или иного результата в ней уже не та, что в первоначальных условиях.
Мы имеем, таким образом, две различные вероятности одного и того же события — покупки стандарт-, нон лампочки, но эти вероятности рассчитаны в различных условиях: покуда мы не налагаем добавочного условия (не учитываем, где изготовлена лампочка), мы имеет безусловную вероятность покупки стандартной лампочки, равную 0,77; при наложении же добавочного условия (того, что лампочка изготовлена первым заводом) мы получаем условную вероятность 0,83, несколько отличающуюся от предыдущей. Если мы обозначим через Л событие — покупку стандартной лампочки и через В событие — выпуск ее первым заводом, то обычно обозначают через Р(Д) безусловную вероятность события А и через Рв(Л) вероятность того же события при условии, что состоялось событие В, т. е. что лампочка выпущена первым заводом. Мы имеем, таким образом,
Р (Л) = 0,77; РБ(Л) = 0,83.
Так как о вероятности того или иного результата данной операции можно говорить лишь при некоторых точно определенных условиях, то, строго говоря, всякая вероятность есть‘условная вероятность; безусловных вероятностей в буквальном смысле этого слова существовать не может. Однако в большинстве конкретных задач дело обстоит так, что в основе всех рассматриваемых в данной задаче операций лежит некоторая определенная совокупность условий К, которые
ПОНЯТИЕ УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
27
предполагаются выполненными для всех операции. Если при вычислении какой-либо вероятности никаких иных условии, кроме совокупности К, не налагается, то такую вероятность мы назовем безусловной; условной же будет называться вероятность, вычисленная в предположении, что, кроме общей для всех операций совокупности условий К, выполняются еще те пли другие, точно оговоренные дополнительные условия.
