Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Если лампочка стандартна (Л), то либо она изготовлена первым предприятием (Л и В), либо вторым (Л и В); так как два последних события, очевидно, несовместимы друг с другом, то по правилу сложения
Р(Л)*=Р(Л и В) + Р{А и В). (1)
Тем же путем мы находим:
Р(В) = Р(Л и Й) + Р(Л и В). (2)
ВЫВОД НЕКОТОРЫХ НЕРАВЕНСТВ
37
Наконец, рассмотрим событие (Л или В); для его наступления имеются, очевидно, следующие три возможности:
1) Л и В,
2) Л и В,
3) А и В;
из этих трех возможностей любые две несовместимы друг с другом; поэтому по теореме сложения
Р(Л или В) = Р(Л и В) + Р(А и В) + Р(Л и В). (3)
Складывая почленно равенства (1) и (2) и учитывая равенство (3), мы легко находим:
Р.(Л) + Р(В) = Р(Л II В) + Р(Л или В),
откуда
Р(Л или В) = Р(Л) + Р(В)-Р(Л и В). (4)
Мы пришли к очень важному результату; при этом, хотя мы и вели рассуждение для частного примера, оно было столь общим, что вывод может считаться установленным для любой пары событий Л и В. До сих пор мы получали выражения для вероятности Р (Л или В) только при весьма частных предположен ниях относительно связи между событиями Л и В (мы предполагали их сначала несовместимыми, а потом —-независимыми между собою). Формула (4), которую мы. получили теперь, имеет место без всяких дополнительных предположений Для любой пары событий Л и В. Правда, мы не должны забывать одного существенного различия между формулой (4) и нашими прежними формулами. В прежних формулах вероятность -Р (Л или В) всегда выражалась через одни только вероятности Р (Л) и Р (В), так что, зная вероятности событий А и В, мы всегда могли однозначно определить вероятность события (Л или В). В формуле (4) дело обстоит иначе: для вычисления по ней величины Р (Л или В) необходимо кроме Р (Л) и Р (В) знать еще Р (Л и В), т. е. вероятности совместного наступления событий А и В; найти же эту вероятность
38 СЛЕДСТВИЯ ПРАВИЛ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ [ГЛ 4
в общем случае, т. е. при произвольной связи между событиями Л и В, бывает обычно не легче, чем найти Р (Л или В), поэтому для непосредственных практических расчетов формулой (4) пользоваться приходится редко, но теоретическое значение ее очень велико.
Убедимся прежде всего, что нз формулы (4) в качестве частных случаев легко могут быть получены наши прежние формулы. Если события А и В несовместимы друг с другом, то событие (Л и В) невозможно, Р (Л и В) = 0, и формула (4) приводит к соотношению
Р(Л или В) = Р (Л) + Р (В),
т. е. к правилу сложения. Если события Л и В взаимно независимы, то по формуле (3) на стр. 31
Р(Л и В) = Р(Л)Р(В), и формула (4) дает
Р(Л или В) = Р(Л) + Р(В)-Р(Л)Р(В) =
= 1 — [1 — Р (Л)] [1 — Р (В)],
т е формулу (5) на стр. 34 (для случая п = 2).
Далее, выведем из формулы (4) одно важное следствие. Так как во всех случаях Р (Л и В) ^ 0, то из
формулы (4) во всех случаях следует
Р (Л или В)< Р (Л) 4- Р (В). (5)
Это неравенство легко может быть распространено на любое число событий. Так, например, в случае трех событий в силу (5)
Р(Л, или В, или С)-^Р{Л или В) + Р(С)<[
< Р (Л) + Р (В) + Р (С),
и тем же путем, очевидно, можно от трех событий перейти к четырем и т. д. Получаем общин результат: Вероятность наступления по меныией мере одного из нескольких событий никогда не превышает суммы вероятностей этих событий.
При этом знак равенства имеет место только в том случае, когда любые два из данных событий несовместимы между собой.
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
39
§ II. Формула полной вероятносги
Вернемся еще раз к примеру с лампочками на стр. 25 н будем пользоваться для различных результатов испытания обозначениями, введенными на стр. 36. Вероятность стандартного качества лампочки при условии, что она изготовлена вторым заводом, равна, как мы видели уже не раз,
Р^(Л) = || = 0,63;
вероятность того же события при условии, что лак-попка изготовлена первым заводом, составляет
Р*(Л) = w = o>83*
Допустим, что эти два числа нам известны н что известны также вероятности изготовления лампочки первым заводом
Р (В) = 0,7
и вторым
Р (В) = 0,3.
Требуется найти безусловную вероятность Р (/1), т. е. вероятность стандартности отдельной лампочки, вычисленную без всяких предположений о месте ее изготовления.
Чтобы решить эту задачу, будем рассуждать так. Обозначим через Е двойное событие, состоящее в том, что 1) лампочка выпущена первым заводом и 2) она стандартна, а через F — такое же событие для второго завода. Так как всякая стандартная лампочка изготовлена первым или вторым заводом, то событие Л равносильно событию «Е или F», а так как события Е и F друг с другом несовместимы, то по правилу сложения
