Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
В силу условий задачи
Р (Л) = 0,96, Р„ (В) = 0,75.
Поэтому на основании формулы (Г)
Р(Л и В) = 0,96 • 0,75 = 0,72.
§ 9. Независимые события
При испытании на крепость двух мотков пряжи, изготовленных на разных машинах, оказалось, что для первого мотка образец некоторой длины выдерживает определенную стандартную нагрузку с вероятностью 0,84, а для второго — с вероятностью 0,78 *), Найти вероятность того, что два образца пряжи, взятых с двух разных мотков, оба в состоянии выдержать стандартную нагрузку.
Обозначим через Л событие, состоящее в том, что образец, взятый из первого мотка, выдерживает стандартную нагрузку, и через В аналогичное событие для образца из второго мотка. Так как ищется Р (Л и В),\ то мы применяем правило умножения:
Р (Л и В) = Р(Л)Р,(В).
Здесь, очевидно, Р (Л) =0,84; но что такое Ра (В)? Согласно общему определению условных вероятностен, это есть вероятность того, что образец пряжи из второго мотка выдержит стандартную нагрузку, если такую нагрузку выдержал образец из первого мотка. Но вероятность события В не зависит от того, произошло или нет событие Л, хотя бы потому, что эти испытания мы можем производить одновременно, а образцы пряжи выбираются из совершен-
*) Это означает следующее: из 100 образцов, взятых с первого мотка, в среднем 84 образца выдерживают такую нагрузку, а 16 не выдерживают п разрываются.
НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
31
ко различных мотков, изготовленных па разных машинах. Практически это означает, что процент испытаний, при которых пряжа из второго мотка выдержит стандартную нагрузку, не зависит от того, какой крепости окажется образец из первого мотка, т. е.
Ра (В) = Р (В) = 0,78; отсюда следует, что
Р(Л и В) — Р (Л) Р (В) 0,84 • 0,78 = 0,6552.
Особенность, отличающая этот пример от всех предыдущих, состоит, как мы видим, в том, что здесь вероятность результата В не изменяется от того, что к общим условиям мы прибавляем требование, чтобы состоялось событие Л. Иначе говоря, усаовная вероятность Ра (В) равна безусловной вероятности Р (В). В этом случае мы будем кратко говорить, что событие В не зависит от события А.
Легко убедиться, что если В не зависит от Л, то и Л не зависит от В; в самом деле, если РА (В) = = Р (В), то в силу формулы (2) и Рв (Л) = Р (Л), а это и значит, что событие Л не зависит от события В. Таким образом, независимость двух событий есть свойство взаимное. Мы видим, что для взаимно независимых событий правило умножения получает особенно простои вид:
Р(Л и ?) = Р(Л)Р(В). (3)
Подобно тому как прн всяком применении правила сложения необходимо предварительно установить взаимную несовместимость данных событий, так и при всяком применении правила (3) необходимо убедиться, что события Л и В взаимно независимы. Пренебрежение этим указанием приводит к большому числу ошибок. -Если события А \\ В взаимно зависимы, то формула (3) не верна и должна быть заменена более общей формулой (1) или (Г).
Правило '(3) легко распространяется на случай, когда ищется вероятность наступления не двух, а трех или более взаимно независимых событий. Пусть, например, мы имеем три взаимно независимых события
у
32 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ [ГЛ. 3
А, В и С (это означает, что вероятность каждого из них не зависит от того, наступили или не наступили два других события). Так как события А, В и С взаимно независимы, то по правилу (3)
Р (Л и В и С) = Р (Л и В)Р(С); .
вставляя же сюда вместо Р (Л и В) выражение этой вероятности из формулы (3), находим:
Р(Л и В и С) = Р(Л)Р(В)Р(С), (4)
и ясно, что такое же правило имеет место в случае, ксгда рассматриваемая группа содержит любое число событий, лишь бы эти события были взаимно независимы (т. е. вероятность каждого из них не зависела бы от наступления или ненаступления остальных событий).
Вероятность совместного наступления любого числа взаимно независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Пример 1. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго 0,8 и для третьего 0,85. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа ни один станок не потребует к себе внимания рабочего.
Считая, что станки работают независимо друг от друга, находим по формуле (4), что искомая вероятность равна
0,9-0,8-0,85 = 0,612.
Пример 2. В условиях примера 1 найти вероятность того, что по крайней мере один из трех станков не потребует внимания рабочего в течение часа.
Речь идет о вероятности вида Р (Л, или В, или С), и поэтому наша мысль прежде всего устремляется, конечно, к правилу сложения. Однако мы немедленно убеждаемся, что это правило в данном случае неприменимо, так как любые два из трех рассматриваемых событий совместимы друг с другом (ничто не мешает двум станкам проработать спокойно в течение одного и того же часа); да и независимо
