Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы рассмотрели лишь упрощенную задачу теории резервирования. Исследование тех же вопросов, но в реальных условиях, требует привлечения гораздо более сложных математических средств, в первую очередь теории случайных процессов Сейчас уже решены многие важные задачи теории надежности, но еще большое число вопросов далеко от удовлетворительного и окончательного решения. Систематическая работа позволит разрешить эти задачи в несколько упрощенных условиях и откроет пути их исследования в более реальных предпосылках.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория вероятностей в последние десятилетия превратилась в одну из самых быстро развивающихся математических наук. Новые теоретические результаты открывают новые возможности для естественно-научного и практического использования методов теории вероятностей. Более тонкое, более детальное изучение явлении природы, а также производственных, технических, экономических и иных процессов толкает в то же время теорию вероятностей на разыскание новых методов, новых закономерностей, которые порождаются случаем. Теория вероятностей является одной из тех математических наук, которые не отгораживав ются от жизни и от запросов других наук, а идут в но-гу с общим развитием естествознания и техники. Читатель не должен превратно понять сказанное и подумать, что теория вероятностей превратилась теперь только в подспорье, во вспомогательное средство для решения прикладных задач. Отнюдь нет: за последние четыре десятилетия теория вероятностей превратилась в стройную математическую науку со своими проблемами и методами исследования. В то же время оказалось, что наиболее важные и естественные проблемы теории вероятностей как математической науки служат решению актуальных проблем естествознания.
Возникновение теории вероятностей относится к середине семнадцатого столетия и связано с именами Ферма (1601—1665), Паскаля (1623—1662) и Гюйгенса (1625—1695). В работах этих ученых в зачаточном виде появились понятия вероятности случайного события и математического ожидания случайной вели-
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
163
чины. Отправным пунктом для их исследований явились задачи, связанные с азартными играми. Однако важность новых понятий для изучения природы была им ясна, и, например, Гюйгенс в сочинении «О расчетах в азартных играх» писал: «Читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». Среди позднейших ученых, оказавших значительное влияние на развитие теории вероятностей, необходимо указать Якова Бернулли (1654—1705), с именем которого мы уже встречались в тексте нашей книги, А. Муавра (1667—1754), Т. Байеса (ум. 1763), П. Лапласа (1749—1827), К. Гаусса (1777—1855) и С. Пуассона (1781—1840).
Мощное развитие теории вероятностей тесно связано с традициями и достижениями русской науки. В то время как в прошлом веке на Западе теория вероятностей зашла в тупик, в России гениальный математик П. J1. Чебышев нашел новый путь ее развития — всестороннее изучение последовательностей независимых случайных величин. Сам Чебышев и его ученики
А. А. Марков и А. М. Ляпунов на этом пути получили фундаментальные результаты (закон больших чисел, теорема Ляпунова).
Читатели уже знакомы с законом больших чисел, и наша ближайшая задача состоит теперь в том, чтобы дать представление о другом важнейшем предложении теории вероятностей, получившем название теоремы Ляпунова (или иначе — центральной предельной теоремы теории вероятностей).
Причина столь большого ее значения заключается в том, что значительное количество явлений, исход которых зависит от случая, в основных своих чертах протекает по следующей схеме: изучаемое явление подвержено воздействию огромного количества независимо действующих случайных причин, каждая из которых оказывает лишь ничтожно малое влияние на течение явления в целом. Действие каждой из них выражается случайными величинам |i, ?2, ¦. •, ?п, а суммарное влияние на явление всех этих причин — суммой s„ = gi + |2 +• • .+?n. Так как учет влияния
164
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
каждой из этих причин (иначе говоря, указание функций распределения величин ?) и даже простое перечисление их практически невозможно, то ясно, насколько важно разработать методы, позволяющие изучить их суммарное действие независимо от природы каждого отдельного слагаемого. Обычные методы исследования для решения поставленной задачи бессильны, на смену им должны прийти другие методы, для которых большое число действующих на явление причин было бы не препятствием, а, наоборот, облегчало бы решение поставленной задачи. Эти методы должны компенсировать недостаточное знание каждой отдельной действующей причины большим их числом, их массовостью. Центральная предельная теорема, установленная трудами, главным образом, академиков П. Л. Чебышева (1821 —1894), А. А. Маркова (1856—1922) и А. М. Ляпунова (1857—1918), утверждает, что если действующие причины ?г, ..., In взаимно независимы, их число п очень велике и действие каждой из этих причин по сравнению с суммарным их действием невелико, то закон распределения суммы s„ лишь незначительно может отличаться от нормального закона распределения.
