Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Естественно, что как клиентов, так и руководите* лей предприятия интересует в первую очередь такие характеристики качества обслуживания, как длина очереди на получение обслуживания, средняя длитель» ность ожидания клиентом начала обслуживания, за* груженность обслуживающих устройств, если нам известен средний темп поступления заявок на обслуживание и средний темп обслуживания.
При решении возникшей перед нами задачи будем исходить из следующих предположений: 1) поток требований на обслуживание является простейшим;
2) длительность обслуживания случайна и вероят* ность того, что на обслуживание придется затратить время, не меньшее чем f, равна e~vt, где v > 0 — по-" стоянная; 3) каждое требование обслуживается одним прибором; каждый прибор обслуживает только одно требование в момент, когда он занят; 4) если имеется очередь на обслуживание, то освободившийся прибор без потери времени переходит к обслуживанию очередного требования очереди.
Обозначим через Ph(i) вероятность того, что в момент t в очереди находится k требований. В сформулированных нами условиях эти вероятности могут быть найдены при любом k, k — 0, 1, 2, ... Однако точные формулы очень громоздки и на практике
II*
|5в ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ i3
предпочитают пользоваться не ими, а теми, которые получаются из них для установившегося режима работы. Эти последние формулы несравненно проще и имеют следующий вид: при I «С к ^ п
В этих формулах мы положили р = —.
Обратим внимание на то, что при р > п вероятность рп = 0. В силу формул (3) и (4) сказывается, что и при любом к ^ 1
Иными словами, при р п в установившемся процессе обслуживания застать в системе любое конечное число требований мы можем лишь с вероятностью нуль, т. е. с вероятностью единица в такой системе будет бесконечно много требований и образуется бесконечная очередь. Это означает следующее: во всех случаях, когда р п, очередь на обслуживание неограниченно возрастает со временем.
Наш вывод имеет очень большое практическое значение, поскольку нередко при расчете количества необходимых средств обслуживания (посадочных площадок в аэропорту, причалов в морском порту, коек в больнице, пунктов выдачи инструмента на предприятии, касс в магазине и т. д.) принимают ложную предпосылку, что нужно исходить из «идеальной» производительности системы, равной отношению произведения числа обслуживающих приборов на дли-
Р
Рк = к, р0;
(3)
(4)
где
для р < п, (5)
Ро — 0
для
Pfe = 0.
5.37]
ОБ ОДНОЙ задаче теории надежности
157
телыюсть их использования в течение заданного срока к средней длительности одной операции обслуживания. Такой подсчет, как вытекает из сформулированного нами результата, в силу неравномерности поступления требований на обслуживание приводит к планированию очередей, а тем самым и к потерям времени, средств и потенциальных потребителей.
Конечно, умение использовать методы теории массового обслуживания приводит не только к тому, что мы получаем средство выяснять тот вред, который приносит перегрузка системы обслуживания, но и те потери, которые приносит излишнее количество обслуживающих средств в системе. Можно привести большое число примеров, когда теория массового обслуживания стала необходимой. составной частью расчета крупных отраслей человеческой деятельности, например, телефонных станций, организации бригад ремонтных рабочих на предприятиях, работы крупных аэропортов или напряженных по движению автомо*-бильных туннелей. Сейчас теория массового обслуживания приобретает все большее значение в вопросах конструирования современных электронных вычислительных машин, информационных систем, в ядерной физике, биологии и пр.
§ 37. Об одной задаче теории надежности
В последние годы во всем мире большое внимание стали уделять новой научной дисциплине, получившей название теории надежности. Ее цель состоит в том, чтобы разработать общие правила, которых следует придерживаться при проектировании, изготовлении, приемке, транспортировке, хранении и эксплуатации изделий промышленности, чтобы обеспечить наибольшую эффективность их использования. Естественно, что теория надежности разрабатывает также методы расчета надежности сложных изделий и технических систем по известным характеристикам надежности составляющих элементов.
Практическая важность этих задач не вызывает сомнений, поскольку вся наша жизнь связана прямо
158 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 13
и косвенно с использованием разного типа технических устройств и систем. Мы каждый день пользуемся автобусами и трамваем для поездки на работу, выключателями для освещения наших квартир, водой из водопроводного крана, которую гонят по трубам машины, стоящие далеко от' нас. В больницах употребляются разного типа устройства, помогающие восстановлению жизнедеятельности организма боль-ных.^Для примера, после операции на почках теперь применяется особый аппарат — искусственные почки, которые выполняют функции, свойственные естественным почкам в течение того периода, который необходим для восстановления их свойств. Ежегодно самолеты перевозят многие миллиарды пассажиров во все концы земного шара. И во всех случаях мы крайне заинтересованы в том, чтобы используемые нами технические средства выполняли возложеннпе на них функции абсолютно исправно на протяжении всей операции. Нарушение этого требования может привести к непоправимым последствиям. Дейстрительно, самолет, двигатели которого отказали во время полета, грозит гибелью находящимся в нем пассажирам и членам экипажа. Искусственные почки, переставшие выполнять свои функции, грозят больному, который хорошо перенес операцию, гибелью в послеоперационный период. Авария, вызванная недостаточной надежностью насосов, установленных на водопроводной станции, нарушает снабжение города водой. В результате жители теряют возможность приготовления пищи, не имеют воды для питья и умывания; больницы вынуждены прекращать операции и нарушать нормальные процедуры лечения; улицы наполняются пылью, так как их нечем поливать и т. д.
