Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
мы видим, что с указанным перелетом будет падать немного более 4% выпускаемых снарядов.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 33. Представление о случайном процессе
При изученч,1 явлений природы, процессов техники, экономики или транспортных систем приходится часто встречаться с таким положением, что описание этих явлений или процессов производится с помощью случайных величин, которые изменяются во времени. Приведем нескочько примеров.
Известно, что явление диффузии состоит в том, что молекулы одного вещества проникают в другое вещество и происходит перемешивание молекул разных веществ Проследим за движением определенной молекулы. Пусть в начальный момент 10 = 0 наблюдаемая нами молекула находилась в положении (л‘0, у0, z0) и компоненты ее скорости по осям координат были (t'ox. f-'oy, v0z) В случайные моменты времени молекула сталкивается с другими молекулами и меняет не только свое положение, по также скорость и направление. Это изменение невозможно предсказать точно, поскольку нам не известны заранее ни моменты столкновений, ни их число за любой промежуток времени, ни скорости молекул, с которыми столкнется наша молекула. В результате положение данной молекулы в момент времени / определяется тремя координатами, х{1), {/(/), г(/), являющимися случайными функциями времени. Компоненты ее скорости vx(t), vy(i), vz(l) также представляют собой случайные величины, меняющиеся во времени.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О СЛУЧАЙНОМ ПРОЦЕССЕ
145
Рассмотрим теперь сложное техническое устройство, состоящее из большого числа элементов — конденсаторов, сопротивлений, диодов, механических частей и т. д. Каждый элемент в силу тех или иных причин может терять свои рабочие свойства и приходить в состояние, в котором он перестает выполнять возложенные на него функции. Это состояние элемента мы назовем отказом. Длительные наблюдения над разнообразными техническими устройствами показывают, что время безотказной работы, т. е. время, прошедшее от момента начала работы до момента отказа, не может быть заранее точно указано, поскольку оно представляет собой случайную величину. Предпе-ложим теперь, что в момент отказа того или иного элемента отказавший элемент немедленно заменяется на такой же новый и исследуемое устройство продолжает свою работу. Спросим себя, сколько замен элементов приходится произвести за промежуток от 0 до t. Это число, которое обозначим через п((), зависит от t и является случайным. Мы получаем новый пример случайной величины, изменяющейся со временем. Эта случайная величина обладает одной особенностью: она не может убывать и изменяется в случайные моменты времени на целые числа (на число элементов, отказавших в момент замены). Такие случайные функции представляют значительный интерес в теории надежности — новой важной инженерной науке, широко использующей методы теории вероятностей.
В современной инженерной практике большую роль играет снабжение промышленных предприятий электрической энергией. Сколько энергии будет потреблено предприятием или цехом за данный срок? Как велика может быть потребляемая мощность в каждый данный момент? Как следует рассчитывать электрические кабели предприятий, чтобы они не были слишком маломощными и не перегорали от больших мощностей, которые нужно передавать в период нормальной работы? С другой стороны, как рассчитать потребляемую мощность, чтобы эти кабели не были чересчур большого сечения, поскольку при этом в кабели будет заложен излишний металл, а вместе
146
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 13
с ним омертвлены значительные капиталы? Естественно, что для ответа на этот вопрос необходимо тщательно изучить реальную картину потребления электроэнергии как отдельными станками, механизмами, разного типа приборами и аппаратами, так и всеми потребителями тока, подключенными к одному кабелю (по терминологии энергетиков — фидеру). Такого типа исследования проведены на многих предприятиях: металлургических, металлообрабатывающих,
нефтедобывающих, химических и иных. Мы приведем
P(t)\
г7
t
Рис. 17.
сейчас картину, типичную для металлообрабатывающих предприятий. Впрочем, суммарная картина будет такой же и для предприятий иного типа.
На рис. 17 изображена картина потребляемой мощности Р(() токарным станком. Периоды, когда станок работает, сменяются периодами свободного хода, когда станок не несет полезной нагрузки. Потребляемая мощность в эти разные по характеру промежутки времени существенно различна: от почти нулевого потребления в свободных промежутках потребляемая мощность резко подскакивает в периоды работы. Однако при этом она не остается постоянной, а подвер-жена значительным колебаниям, поскольку в процессе обработки из-за локальной неоднородности обрабатываемого материала меняется скорость работы и режущие усилия. Одновременно оказывается, что совсем нерегулярно изменяются продолжительности рабочего и свободного периодов. При ближайшем и более тщательном изучении оказывается, что их изменение случайно. Мы вновь имеем дело со случайной функцией времени.
