Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
\х - у | в асимптотиках (7.1.2-3) могут отличаться от канонических
значений -(d- 1)/2
- у | й+2 при d^ 3,
7./ Введение 143
(в асимптотике на дальних расстояниях) и -d + 2 (в асимптотике иа близких
расстояниях). В этом случае говорят, что асимптотика определяется
нетривиальной критической точкой (см. гл. 17).
Свойство положительности ковариационного оператора формулируется в
зависимости от значения спина. Для бозонов с нулевым спином, которые мы
рассматриваем, справедливы как поточечное, так и операторное неравенства
0^С(х,у), (Р1)
О (Р2)
Положительность операторов (Р2) эквивалентна существованию гауссовой
меры и поэтому важна для развиваемых ниже методов.
Для фермионов ситуация несколько сложнее, хотя и для этих полей
можно определить интеграл, имеющий, правда, несколько иной характер (см.
[Березин, 1966] и [Osterwalder, Schrader, 1973а]). Что касается OS-
положительности или положительности при отражениях, то она связана с
положительностью скалярного произведения в гильбертовом пространстве
состояний (см. теорему 6.2.3). Пусть П - гиперплоскость в Rd, а 0п-
отражение относительно этой гиперплоскости. Положительность при
отражениях относительно гиперплоскости П означает, что
О < <0п/, Cf)u = jj (0п/) (у) С (х, у) f (х) dx dy (РЗ)
для произвольной функции /, носитель которой расположен по одну сторону
от гиперплоскости П.
Мы будем изучать операторы С, соответствующие различным классическим
граничным условиям: свободным граничным условиям, условиям Дирихле и
Неймана, а также периодическим граничным условиям. Задание граничных
условий приводит к нарушению некоторых аксиом, но не меняет ни локальной
сингулярности (7.1.2), ни положительности (Р1), (Р2). Условие
положительности (РЗ) требует инвариантности граничных условий при
отражениях.
В двумерном случае ядра С(х, у) имеют очень слабые (логарифмические)
особенности. Поэтому удобно сформулировать свойство локальной
регулярности в терминах пространств Lp. Пусть ? обозначает оператор
умножения на функцию ?еСо°(р2). Тогда первая аксиома локальной
регулярности утверждает, что
sup||(C?)(jc, -)||^ < оо для всех q<oo. (LR1)
х Я
Для того чтобы сформулировать другие аксиомы, введем "размазанную"
дельта-функцию Дирака 6ц(х). Пусть h - некоторая
144 Гл. 7. Ковариационный оператор
фиксированная функция из Со°(У?2), удовлетворяющая условиям О, /г(0) > 0
и \jh{x)dx= 1. (7.1.4)
Определим 8к(х) формулой
б n(x) = x2h(xx). (7.1.5)
Это обозначение распространим и на задаваемый 6И оператор свертки в L2, а
именно (6*f) (х) = ^ би(х - y)f(y)dy. С помощью
6И сформулируем еще две аксиомы. Для любого q < оо существует такое е =
е(<7) > 0, что
||?6хС6и?-га^(*гх*г)<0(х-е), х_>00> (LR2)
Другими словами, биСби->-С в LlqC со скоростью 0(х_Е). Для особенности
функции Грина на диагонали оценка может быть записана аналогичным
образом:
sup (6ИС6И) (х, л:)<0 (In х). (LR3)
Константы в аксиомах LR зависят от ?, поскольку ковариация свободного
поля С(х, у) является функцией разности х - у, и, следовательно, С{х, у)
не принадлежит никакому пространству
Lq(R2XR2)-
Рассмотрим в Rd решетку из единичных кубов Д и зададим граничные условия
на некоторых гранях границы дЛ куба Д. Например, если d = 2, то {Д}-
покрытие R2 единичными квадратами, а граничные условия задаются на
некотором контуре из ребер, разделяющих квадраты. При d = 3 решетка
состоит из единичных кубов, граничные условия задаются на их гранях, т.
е. на единичных квадратах, и т. д. Пусть Г обозначает некоторый набор
гиперграней решетки. Рассмотрим оператор Лапласа -Д. Вводя для него
какое-нибудь классическое граничное условие (т. е. свободное,
периодическое, условие Дирихле или Неймана)-обозначим его В,- получим
самосопряженный положительный оператор в пространстве L2(Rd), который
обозначим - Двщ- Ковариационный оператор Св(Г)=(-Дв<г) + /и2)-1 мы будем
изучать двумя способами: с помощью винеровых интегралов и методом
изображений. В обоих случаях мы свяжем оператор Св{г> со свободным
ковариационным оператором С = Сф, оценки для которого выводятся в
предложении 7.2.1.
Пусть 'S'm -• выпуклое множество, порожденное ковариационными операторами
Св с массой не меньше m (точное определение этого множества будет дано в
§ 7.9). Основные результаты этой главы сформулированы в следующих двух
теоремах.
Теорема 7.1.1. Любой оператор С обладает свойствами ло-
кальной регулярности (7.1.2) и положительности (PI), (Р2). Если
7.2 Свободная ковариация 145
d - 2, то для С е= 9," выполнены аксиомы (LR1-3) с константами, не
зависящими от С е •g'm.
Теорема 7.1.2. Пусть С^&т, причем разложение С по крайним точкам не
содержит ковариационных операторов с периодическими граничными условиями.
Тогда для ядра С справедлива оценка
(7.1.3). В случае когда С = Св (т. е. оператор С совпадает с крайней
точкой суммы), он обладает свойством положительности при отражениях (РЗ),
если он коммутирует с 0п- В периодическом же случае, когда С - СР)
