Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
которому каждое состояние 0 в пространстве Фока ЗГ содержит не более
одной частицы в данном состоянии Этот
факт легко следует из соотношений (6.5.4). В самом деле,
a(/)20 = |{a(/). a(f)}Q = О
186 Гл. 6. Теория поля
для любого 0е^, поэтому a(f)Q не имеет ни одной частицы в состоянии f е
1, а 0 может иметь не более одной такой частицы.
Линейное преобразование, переводящее систему операторов а и \а*,
удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям (6.5.4)>?нова в такую же
систему, называется преобразованием Боголюбова."Эта преобразования
полезны во многих случаях. Они позволяют переформулировать задачи
линейных квантовых полей (например, в случае полей, взаимодействующих с
внешним источником или потенциалом) при помощи свободного поля и решений
(классических) дифференциальных уравнений в частных производных. Мы
обсудим здесь одно конкретное преобразование Боголюбова, которое
возникает при квантовании поля Дирака:
a*(f)^a(f), a(f)^a*(f). (6.5.5)
Преобразуя соответствующим образом сами состояния, мы получим
видоизмененный вариант соотношения (6.5.4d):
a*(/)Q' = 0, a(g)Q' = g'e=9-'u (6.5.4d')
где Q', g' и @~'\ - преобразованные состояния. Подобно тому как
соотношение (6.5.4d) описывает Q как состояние без частиц, (6.5.4d')
характеризует Q' как состояние с полным набором частиц. В случае когда
3Fкак обычно и бывает, бесконечномерно, преобразованное пространство Фока
3F' отлично от ЗГ в том смысле, что действие системы операторов а и а* в
ЗГ не унитарно эквивалентно действию этой же системы в ЗГ\. Пространство
можно мыслить как пространство дырок, а Q'-• как состояние поля, в
котором все дырки заполнены. Пространство ЗГ' - это пространство Фока,
порожденное состояниями с конечным числом дырок (образованных оператором
а рождения дырок), точно так же как 3F - пространство Фока, порожденное
состояниями с конечным числом частиц.
При квантовании поля Дирака используется не одно ЗГ или а их комбинация.
Для оператора Дирака, действующего в пространстве ЗГи разложение
?-1 -?-{+)(r)^-(Г' (6.5.6)
означает разложение на подпространства состояний соответственно с
положительной и отрицательной энергией. Тогда пространство Фока ЗГ" для
поля Дирака -это
дг"=~ ? (6.5.7)
т, п
Другими словами, пространство ЗГ" порождено частицами, т. е. состояниями
с положительной энергией из ^F(i+), и Дырками (называемыми иначе
античастицами), т. е. состояниями с отрицательной
6.6 Взаимодействующие поля 137
энергией из пространства 3~\ '. Это приводит к уравнениям a (f) Q" = 0,
а (/) Q" = /" е Т[+)",
(6.5.4d")
fl*(g)?2" = 0, a(g)Q" = g"^^\-] ,
с помощью которых можно интерпретировать Q" как море Дирака: в нем заняты
все состояния с отрицательной энергией и нет состояний с положительной
энергией.
Чтобы явно произвести разложение (6.5.6), нужно задать оператор энергии
Дирака (см. § 15.3). Однако здесь мы лишь заметим, что интерпретация
классических состояний с отрицательной энергией как античастиц с
положительной энергией приводит к положительному оператору энергии
квантового поля. В самом деле, если E(f) - классическая энергия состояния
/, то, в силу антиком-мутационных соотношений,
Е(П а* (/) а (/) = -Е (/) а (f) a*(f) + Я||/||'.
Аддитивную постоянную ?|1Л12 можно вычесть при нормировке, и тогда при Е
< 0 оператор -Еаа* положителен.
6.6 Взаимодействующие поля
Наибольший интерес представляют взаимодействующие поля. Построение таких
квантовых полей становится тем сложнее, чем больше размерность d
пространства-времени. Здесь мы изложим программу построения
взаимодействующих полей, которые, как предполагается, соответствуют
физическим полям (d - A). Эту программу не следует воспринимать как
введение в часть II, где это построение проведено для случая d = 2. В
этом случае возникают значительные упрощения, которые и используются в
части II.
Взаимодействующие поля строятся с помощью решеточных полей (гл. 2 и 4) с
шагом решетки е как предел при е->0. В этом пределе совершается
тривиальное преобразование масштаба, при котором все длины (шаг решетки,
корреляционная длина и т. п.) умножаются на е. Этот масштабный пересчет
определяет унитарное преобразование, которое переводит решеточные модели
(с их характерными длинами) в другие, но эквивалентные им модели.
Преимущество этой точки зрения в том, что нам безразлично, какой предел
рассматривать: предел, в котором
шаг решетки->0, корреляционная длина = const, (6.6.1)
или предел, в котором
шаг решетки = const, корреляционная длина ->оо. (6.6.2)
Второй из этих эквивалентных предельных переходов определяет критическую
точку решеточной теории. Простое масштабное преобразование, при котором
предел (6.6.2) переходит в (6.6.1), опре-
138 Гл. 6. Теория поля
деляет скейлинговый предел в критической точке. Итак, мы видим, что
теория поля может быть построена как скейлинговый предел решеточной
теории и что эта конструкция эквивалентна обычному построению, при
котором шаг решетки стремится к нулю. Полученная теория поля может все
