Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, в задаче теплопроводности знак ЛФ в (10.16) совпадает со знаком (10.6), так как условие устойчивости здесь выполнено. Но этого уже не будет в задачах, допускающих неустойчивое решение*). Такая
AlZ
-F(TtT0) •Ф(Т,Т0)
P[SS}>0 -T
Уок
7\
уk
ситуация представлена на Рис- 101' r^e Функционалы изображены как обычные функции.
В устойчивом состоя-_ нии локальный потенциал
всегда имеет минимальное значение, и поэтому любое его изменение приводит к положительной величине производства избыточной энтропии.
В данной задаче локальный потенциал далеко не единственный, и тем же способом, используя ранее рассмотренные множители, можно построить несколько лагранжианов. Например, в задаче теплопроводности, кроме лагранжиана (10.8), можно рассмотреть следующие выражения:
P[(?S]<0
Рис. 10.1. а— локальный потенциал Ф(7\ То) для устойчивого решения задачи теплопроводности и функционал F (Т, Г0); б — локальный потенциал Ф (yk, yQk) для неустойчивого решения задачи теплопроводности.
j АЙГ0 [(InT)7]2 или j-X0 Г,. (10.19)
Для этого (10.1) надо умножить на Т8Т~1 или —бТ, а не на б7м. Как правило, наиболее подходящий для практических целей локальный потенциал связан с характером кинетического закона. Например, в данном случае лагранжиан (10.8) более удобен, если X0Tl почти не изменяется, тогда как второй лагранжиан (10.19) подходит для случая Xo = const.
Сделаем несколько замечаний о смысле вариационных уравнений (10.9) и (10.11). Как уже отмечалось, характерной особенностью локального потенциала Ф(Т, T0) (10.7) является то, что он зависит от двух функций T и То. Вместе с тем из выражений (7.7) и (10.8) следует, что
__2Ф(Г, Г) = PiT), (10.20)
*) При первоначальном выводе локального потенциала наши представления об этом были ошибочны. Здесь же видно, что соотношение д(Ф <С 0 справедливо только вблизи устойчивого решения. Если система неустойчива, флуктуации растут вместе с Ф (рис. 10.1,6). локальный потенциал
131
где правая часть означает производство энтропии PfS]*). В частных случаях, когда Я ~ T"2 или когда и Я, и T можно считать константами (как в случае стационарных состояний вблизи равновесия), Ф не зависит от T0, а зависит только от Г и тогда совпадает с производством энтропии P[S].
Чтобы наглядно представить свойства функционала Ф по отношению к функциям T и T0, рассмотрим поведение одной функции Ф двух переменных Г и T0 (рис. 10.2). Сечение ABC поверхности Ф плоскостью T=T0 является графиком функции Ф(Т,Т),
Ф(Т,тд) с
Рис. 10.2. Локальный потенциал Ф(Г, T0) как функция флуктуирующей температуры T и температуры стационарного состояния Тй. Точка В соответствует минимуму производства энтропии, а точка Q — минимуму Ф(Г0, Г0)
локального потенциала.
которая, согласно сортношению (10.20), равна половине производства энтропии. Если выполнена теорема о минимуме производства энтропии, минимум В на этой кривой соответствует стационарному состоянию системы. Но независимо от этой теоремы Ф (TyT0) как функция T всегда имеет минимум при неизменном значении T0 в стационарном состоянии (см. кривую PQR). Другими словами, этот минимум относится к классу функций, которые можно рассматривать как возмущения данного стационарного состояния. Именно поэтому нам необходим функционал от двух температурных распределений T и T0. Уравнение (10.11) нельзя интерпретировать как выражение вариационного принципа в обычном смысле, так как T0 в лагранжиане является лишь параметром. Гораздо
*) Это свойство имеет место для всех диссипативных стационарных задач, но уже неверно для задач, зависящих от времени или учитывающих конвекцию (например, см. разд. 10.3).
б* 132
глава 10
разумнее рассматривать уравнения (10.10) и (10.11) как некое вариационное свойство, которому должно удовлетворять любое стационарное распределение T0(Xj). Это означает, что, если в Ф(Г, T0) заменить T0 некоторым другим стационарным распределением, решение уравнения (10.9), реализующее минимум Ф, даст значение T+ величины Т, вообще говоря, отличное от T0. Это осуществляется, например, в точках Qb Q2 и Q3 на рис. 10.2, которые не лежат в секущей плоскости T = T0. Наоборот, минимум, соответствующий точке Q, лежит в плоскости T = Ta vi описывает истинно стационарное состояние. Однако эту точку не следует путать с точкой В — минимумом производства энтропии. Так как T+ — функционал заданного стационарного распределения, дополнительное условие (10.10) можно записать в виде
Т+({Т0}) = Т0, (10.21)
позволяющем дать физическую интерпретацию метода локального потенциала. Так, T+, являясь решением вариационной задачи, соответствует нулевому значению вариации бT и, следовательно, нулевому значению положительно определенной формы —S2S [см. (2.58)]. Согласно формуле Эйнштейна {см. гл. 8), существует простое соотношение между вероятностью флуктуации и 62S. Наиболее вероятное состояние соответствует 62S = 0. Поэтому и решение T4 соответствует наиболее вероятному распределению температур (по сравнению с другими распределениями, допустимыми при малых флуктуациях). С другой стороны, T0(Xj) —макроскопическое решение, т. е. среднее температурное распределение, которое означает, что T0 учитывает влияние флуктуаций произвольной величины. Поэтому физический смысл дополнительного условия (10.21) заключается в том, что наиболее вероятное распределение температур (по отношению к малым флуктуациям) должно совпадать со средним распределением (по отношению ко всем флуктуациям вообще).
