Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
d,bP
-^==(ю2-со2)025==юг0Р-со,0П. (9.61)
Знак djbP зависит от соотношения величин |сог| и |сйі|, т. е. от логарифмического декремента рассматриваемой нормальной моды.
Теперь рассмотрим случай, когда приращения потоков можно разложить по приращениям сил
б/а = Ii /ар бХр> (9.62)
где
(9.63)
Это непосредственное обобщение химической задачи, рассмотренной в разд. 9.5 [ср. с (9.37) и (9.38)]. Тогда соотношения (9.53) и (9.54) превращаются соответственно в
ЬР = ^ J J /(a?) (ЬХа oX? + ЬХа bX?) dV = J J /(a?) bXl oX? dV (9.64)
a? a?
И
6П = - \ J J /[a?] {bXl oZ? - ЬХа oX?) dV =-i J J /[a?] ЬХа bX? dV.
a? a? (9,65)
Если выражение (9.64) подставить в (9.56), то можно связать знак сог с симметричной матрицей 1[а$), а подстановка уравнения (9.65) в (9.57) связывает направление вращения сої с элементами антисимметричной матрицы I [a?j. Однако, как правило, разложение (9.62) не полно, и поэтому уравнения (9.64) и (9.65) не представляют особого интереса. Действительно, приращения потоков o/a зависят не только от приращения сил бХр, но и от приращения других функций состояния. Например, по закону Фурье (3.13) приращение теплового потока 6W можно записать в виде
OW = — Xb(VT)- (ЬХ)\Т,
из которого следует, что только в частном случае, когда X = const (oA = 0), оно совпадает с (9.62). 122 - глава 8
9.7. Конвективные процессы *)
Для обобщения критерия эволюции (9.14) на конвективные про-цессы необходимо ввести новые обобщенные силы и потоки, учитывающие конвекцию.
Сначала рассмотрим систему в механическом стационарном состоянии, т. е. предположим, что
dtvi = dtp = dtFy = Q (9.66)
и на границах [см. (9.9)]
(ddiY)B = (dtr)o = 0. ~ (9.67)
Как уже подчеркивалось в (9.13) и (9.14), формулировка универсального критерия эволюции связана в основном с билинейным характером выражения для источника энтропии через потоки и обобщенные силы. Условие инвариантности (2.26) независимо от феноменологических соотношений позволяет выбрать совокупность потоков и сил, которая лучше всего подходит для этой цели. Поэтому можно ввести потоки Ja, содержащие и уже рассмотренные кондуктивные потоки Ja, и конвективные потоки, которые еще следует определить. Новые обобщенные СИЛЫ Xa должны быть выбраны так, чтобы выполнялось условие
or [S] = 2/Ж >0. (9.68)
а
Здесь мы имеем пример неэквивалентного описания в смысле гл. 2, разд. 2.3, т. е. новые потоки и силы имеют совершенно другой физический смысл.
Конвективные потоки можно ввести в источник энтропии (9.68) через соотношение Гиббса — Дюгема (2.47), записав его в виде
рHvlTTj1 + T-lVjP4 - S pvv, (|ivr"% = 0, (9.69)
где оператор б заменен оператором градиента. Подчеркнем, что скорость Vj определена в системе отсчета, в которой граничные условия локально не зависят от времени. Складывая (9.69) с выражением (2.21) для источника энтропии, получим
or [S] = [W, + PAv,] T-1 - PljT-lVvj + VjT-lP4 +
+ 2 PyAy/ (T-lFyl) - 2 pYvY/(в,?"1)., + 2 «грГ-'Лр > 0. (9.70)
Y Y P
Определение Ja и Xa приведено в табл. 9.1. При отсутствии конвекции мы возвращаемся к обычному описанию.
*) Результаты разд. 9.7 и 9.8 в дальнейшем изложении не используются, универсальный критерий эволюции
123
Таблица 9.1
Обобщенные потоки и силы х'а для системы в механическом /Стационарном состоянии
<
Wj + P Av/
Pll -т-\4
v/ ТҐР-!
pyay/ T-1Fyl
pyvy/
<гр ¦ t-1ap
Теперь, как и в разд. 9.2, построим критерий эволюции. Из (1.28), (1.42) и (2.64) следует, что
- dtTl [Wj + РHvj),. - OtT-1PilWl4 + OtT-1VjP4 +
+ StT-1 2 pyAv/Fy, + IiOt faT-1) [pYvY/]v + 2 ^di(T-1Ap) < 0.
(9.71)
Интегрируя по частям первый и пятый члены в (9.71) и используя соотношения (9.66), (9.67) и определения из табл. 9.1, получаем обобщенный критерий эволюции
дх'Р dt
(9.72)
Аналогия с (9.12) и (9.14) очевидна. Временное изменение производства энтропии
Р = J S ҐаХ'а dV> (9-73>
как и раньше, можно разбить на две части
дР дх,Р дуР
dt dt 1 dt
(9.74)
Вклад (9.72), связанный с изменением сил Xa при постоянных потоках Ja, имеет точно определенный знак. Знак же второго члена
дуР_ dt
= I 2 X'adtJ'a dv, (9.75)
как и для чисто диссипативных систем, вообще говоря, не определен. u>4 глава 9
Однако в рассматриваемом описании не существует простых феноменологических соотношений между потоками Ja и силами Xi. Кроме того, если в равенстве (9.15) заменить Ja на Ja, то это будет неверно. Но несмотря на это, знак равенства в (9.72), как и в (9.14), относится к стационарному состоянию, потому что тогда вариация по времени от сил обращается в нуль.
Вблизи стационарного состояния dx*Pldt теперь содержит члены и первого, и второго порядков. Именно поэтому изучать теорию устойчивости при наличии конвективных процессов проще методами гл. 7, а не с помощью критерия эволюции.
9.8. Конвективные процессы, зависящие от времени
Чтобы вывести критерий эволюции в самом общем виде, ослабим условие (9.66). Граничные условия, как и прежде, задаются соотношением (9.67). Рассуждать будем точно так же, как и в разд. 9.2, но введем в рассмотрение еще и уравнение баланса для импульса (1.29).-Умножим (1.29) на -T^dtVi и сложим с (9.10). Тогда в левой части вместо (2.64) получим
