Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
П<0. (9.76)
' (W + і (dtvf + J 9yVdtNKdtNy, + (dtv ,)»
Cv
T ъ -у
yy
Для правой части (9.76) после элементарных преобразований получается неравенство
(Wj + pev,) dtT~\ + РчТ~%щ + J 9yvyldt (nYr_I)j + + \Wj + phvj -f PijVi -f pV/ -^-] dtT71 —
- J PYvY/a, [^yT-1Ij - T-xFyl] - (P11 + pviy,) dt (T-1Vi)tj +
y
+ 9Vjdt (Т~х 4). - MvlT-1) - J pyvyjT~ldtFyj +
' y
4 (9.77)
p
с дополнительным граничным условием (9.9)
idt(vi)j0 = o.
Первый член в квадратных скобках в (9.77)—не что иное, как поток *).
*) Формулу Гиббса — Дюгема (2.47) можно записать в виде PhdtT-1 + T~]dtpV- 2 Pydt (И/-1).
y
Таким образом, поток в (9.77) превращается в
j-- W ДГ-1 + dt (pT-W,) + P4T-lBtyi + S Pyhyjdt (IXvT-1)] . универсальный критерий эволюции 125
Используя граничные условия (9.67) и интегрируя по объему, получим критерий эволюции в наиболее общем виде
J 2 dV < 0. (9.78)
г
Определение записанных здесь потоков и сил следует непосредственно из выражения (9.77). В частном случае консервативных систем
dtFyi = 0. (9.79)
Легко проверить, что
р == IS № dV=IS/ж dV+§ pT~lvn dQ¦ (9>8°)
a a Q
Следовательно, для постоянных граничных условий
-W=^t SIirxdv (р>°)' ^9-81)
а
причем '
Чг=S S ndtXl dV ^ (9-82)
а
Можно сделать следующий вывод: для консервативных систем критерий эволюции всегда связан с производством энтропии.
Разные другие выражения критерия эволюции (9.82)' можно получить тем же методом. Уравнения баланса массы, импульса и энергии можно умножить не на величины
-dfGvT1). -T~ldtv{, dtT~l
соответственно, как это делалось раньше, а, например, на
-B2qT^dtVi, г2ед,Т-\
где є^, е2 и E2 — подходящие множители. В разд. 10.2, 10.10 и 10.19 будет показано, что такая возможность представляет практический интерес. Но для того чтобы сохранить фундаментальную отрицательно определенную форму (2.64), мы должны потребовать выполнения условия
= eW. (9.83)
Следовательно, в нашем распоряжении имеются два независимых множителя, . которые оба должны быть не отрицательными (разд. 6.9)
в2>0, є2 = т2 > 0, (9.84)
иметь одну и ту же размерность и не иметь особенностей в пространстве обобщенных сил Xa. ЧАСТЬ II
ВАРИАЦИОННАЯ ТЕХНИКА И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛАВА
-: ю-
ЛОКАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
10.1. Законы сохранения и вариационное исчисление
В этой главе мы рассмотрим систему законов сохранения (гл. 1) и феноменологических законов, которые выражают потоки через обобщенные силы (гл. 3) и из них получим систему дифференциальных. уравнений в частных производных, которые в случае интенсивных переменных, не зависящих от пространственных координат, сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. При этом мы имеем или краевую задачу (стационарное состояние), или задачу с заданными начальными условиями (зависящие от времени однородные процессы), или задачу, в которой заданы как начальные условия, так и условия на границах (зависящие от времени неоднородные процессы). Как правило, возникающие задачи очень сложны и, за исключением нескольких простых случаев, их точное решение получить не удается. Поэтому приходится пользоваться приближенными методами или численными расчетами.
Для линейных уравнений существует много различных методов (конечно-разностные схемы, вариационные методы и пр.). Они подробно изложены в прекрасных учебниках, к которым мы и отсылаем читателя (например, [87]). Но в случае нелинейных уравнений положение гораздо хуже. Для большинства задач, связанных с необратимыми процессами, трудность заключается еще в том, что дифференциальные уравнения являются несамосопряженными (см. гл. 12) и их нельзя вывести из какого-нибудь экстремального (минимального или максимального) принципа. Поэтому их нельзя исследовать классическими вариационными методами; например, такой мощный метод, как метод Релея — Ритца [87], уже неприменим. Тонти [178] развил вариационное исчисление в применении к некоторым нелинейным задачам.
В этой главе будет показано, что наша макроскопическая теория содержит дополнительную информацию, из которой вытекает понятие локального потенциала, позволяющее использовать вариационные методы в несамосопряженных задачах. На самом деле, указанное минимальное свойство имеет простой физический смысл. Оно означает, что решение задачи соответствует наиболее вероят- локальный потенциал
127
ному состоянию по отношению к малым флуктуациям, согласно формуле Эйнштейна (гл. 8).
Сначала будет рассмотрена нелинейная задача теплопроводности в изотропном теле. На этом примере легко показать, как вводится понятие локального потенциала и как его можно использовать для вариационной формулировки.
В некоторых частных случаях можно построить истинные потен-4 циалы (пригодные только для этих случаев), которые затем могут быть исследованы обычными вариационными методами. Например, в нелинейной задаче теплопроводности, соответствующей стационарному состоянию, в качестве лагранжиана можно пользоваться величиной (0'/)2 [см. (7.15)], но в анизотропной среде этого сделать уже нельзя; поэтому такие лагранжианы здесь рассматриваться не будут.
