Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
е^Ж2 е4с4
энергия пропорциональна фактору ^4 — —2 ц _ V2Ic2) ' т' е" ПРИ
данном заряде зависит и от полной энергии и от массы покоя т (или от m и скорости и). В то же время ускорение заряда в рассматриваемом случае зависит только от S (см. (4.9)).
В гл. 5 подробно обсуждается также излучение заряда, движущегося с релятивистской скоростью в магнитном поле. Сейчас же остановимся на радиационной силе, действующей на релятивистские частицы.
Релятивистское уравнение движения с учетом радиационной силы уже было приведно в гл. 3 (см. (3.11), (3.12), (3.19) и (3.20)). Удобно, однако, как и в нерелятивистском случае, сразу учесть приближенный характер формулы для радиационной силы, выразив ее через напряженности поля. Такая операция проделана в § 76 книги [2], но ее удобно здесь провести вновь, начав с уравнения движения
du,1 е .L , 2е2 С d2ul , , (I1Ub \
Inc47 = J F^uk + g\ g< = —UV4J-). (4.17)
В первом приближении
du1 е cik d2ul е dFik і . е2 і
тс—- = -Ft uk) —г = —2-—ruku F'%«. (4.18)
ds с ds тс ох тс
Подставляя A2UiIds2 из (4.18) в выражение для g', запишем (4.17) в виде
du1 Є п;ь .
mcTT=Tp u^ +
{jS" ~ it? Fi'Fkiuk+ib{Fkiul) (Лт)} •(4-19)
В ультрарелятивистском случае везде, кроме выражений типа Y — l/д/1 — V2Ic1, можно положить о = с. Поэтому в (4.19) главным радиационным членом является последний и
64 трехмерное уравнение движения при V -*¦ с можно записать
в виде *)
dt dt Wl- v2/c2 ) VcV
_ _ Jfl (Еу - h^ + (E*+ "у)2 v
3 In2Ci 1 — V2Ic2 V
1
> I,
(4.20)
Vl- V2Ic2
где в последнем выражении для f, чтобы явно выписать компоненты полей, направление v выбрано за ось х. Тот факт, что при у 1 сила f направлена по v, ясен также из уравнения (3.12), но оно, однако, менее удобно, чем (4.20).
Сделаем теперь несколько замечаний, которые представляются существенными и иногда не принимаются во внимание. В релятивистском случае излучение в основном происходит вперед, по направлению скорости. Поэтому отдача, реакция, должна быть направлена назад (направленное излучение несет импульс). Этим и объясняется, почему сила f антипараллельна v. Отсюда также следует, казалось бы, что реакция излучения будет приводить к уменьшению проекций скорости на все направления. Но такой вывод, вообще говоря, ошибочен.
Рассмотрим для примера движение в постоянном и однородном магнитном поле H0. Поскольку этот случай будет нас неоднократно интересовать в дальнейшем, остановимся на нем несколько подробнее в применении к частице с зарядом eZ и массой М.
Уравнение движения тогда имеет вид (реакцию излучения пока не учитываем)**)
*) Для удобства напомним также связь любой четырехмерной силы gl с соответствующей трехмерной силой fi. Именно,
fv f •)
C2V1 — V2Ic2 ' С Vl — V2Ic2
причем
так как
„і
dp1 _ du' _ і dp
ds mC ds ^ ' dt
ds = e dt Vl — V2Ic2 '
\ Vl — V2Ic2 ' с Vl — V2Ic2
**) Для применения уравнения (4.21) даже этой оговорки, строго говоря, недостаточно, и нужно еще заметить, что мы будем считать также постоянными заряд eZ и массу М. Разумеется, подобное допущение почти всегда неявно подразумевается, но оно не обязательно, ибо для ионов при учете ядерных расщеплений и (или) «обдирки» атомарных электронов заряд и масса не являются постоянными величинами.
3 В. Л. Гинзбург
65 Это уравнение легко интегрируется, причем выясняется, что
частица движется по винтовой линии: ее скорость v = vu + vj.; V|| = const — постоянная скорость вдоль поля (ось z), a Vjl— скорость в плоскости (X, у), перпендикулярной к H0 (рис. 4.5); имеем
0J.. X = VxCOS aHt'
V
-L. У
= — V і sin a'J, V11 = const,
I),, = UCOSX, f I = U Sin X,
V2 = V21-
COt
eZH о Mc2 Mc S
-=CDt
Mc2
ё
V sin X
} (4.22) I
I
Здесь X — угол между V И H0, Гн — радиус окружности, которую описывает проекция радиуса-вектора частицы на плоскость (х, у); этот радиус будем, как обычно называть радиусом кривизны, но его не нужно смешивать с г*н—радиусом кривизны
пространственной траектории частицы, равным
2 ґ і * \2 Ти + ) V Г, Н-Г{ II/ и; = --_ (4 23)
Г н WwSinx
Как уже отмечалось, мы будем под е понимать абсолютную величину заряда электрона, а частоты соя и со; считать положительными. В ультрарелятивистском случае для электронов имеем
_ S sin X _ <8 (эВ) sin X
Гн ~ еНо ~ ЗООЯо '
S » тс2 = 5,1 • IO5 эВ. (4.24)
Поле H0 всегда выражаем в эрстедах (гауссах), а ги, как и другие длины, — в сантиметрах. Энергию S часто удобнее, однако, выражать в электронвольтах, что и записано в виде <У(эВ) = <!?/(1,6-10~12), где d? — энергия в эргах.
Гирочастота со^ в релятивистском случае при данном поле H0 ниже нерелятивистской гирочастоты соя по очевидной причине —¦ в силу возрастания «динамической» массы df/c2 = = Mj V1 — v2jc2. Для электронов
Z
H0
ч Ч N S N ч
¦и /1
Z / ! 7 I / I
\ і У
Рис. 4.5. К определению величин V||, V1 и
со
'я-ifflW-=1.76 • ^7H0-
(4.25)
Вернемся теперь к учету реакции излучения. Поскольку сила реакции (4.20) антипараллельна v, кажется, как уже отмечалось, что при движении заряда в магнитном поле ДОЛЖНЫ уменьшаться обе проекции скорости Uj и u||. Me-
