Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В отсутствие полей в равновесном состоянии функции распределения для электронов и ионов являются максвелловскими (то же можно сказать о молекулах, но сейчас они не рассматриваются)
^e = Z00 (0) = ^(^)'''ехр (--g-). 1
Г f / * м С М Vh ( I (12-25)
U = /,-,00 (V) = N1 [^) exp(-w). J
Здесь температуры электронов и ионов считаются одинаковыми. При полном равновесии так оно, конечно, и будет*).
*) При полном равновесии не только частицы должны иметь одинаковую температуру T, но электромагнитное излучение также должно быть тепловым (излучением черного тела) с той же температурой Т. Последнее требование тем не менее обычно не выполняется; однако это часто не играет роли вследствие относительной слабости взаимодействия частиц с излучением. Но,
10*
291 Нужно, однако, иметь в виду, что обмен импульсом (релаксация по импульсу) в плазме происходит значительно быстрее обмена энергией (все дело в малости параметра т/М <С IO-3, подробнее см. [84]). Поэтому иногда можно рассматривать неизотермическую плазму с максвелловским распределением (12.25), но соответственно электронной и ионной температурами Te и T-, (в некоторых случаях даже Te Ti).
Если мы интересуемся задачами, относящимися к области линейной теории (в частности, линейной электродинамики), то электрическое поле E можно считать слабым *) и, в согласии с этим, изменение функции распределения рассматривать в качестве возмущения. Иными словами, будем искать функцию распределения в виде
f = /oo(v) + /'(/, г, V), IfKfoo, (12.26)
где при нахождении тензора є,/ (со, к) в равновесной плазме в качестве невозмущенной функции /оо выбирается максвеллов-ское распределение (12.25); ниже ограничимся этим случаем.
Тогда в отсутствие внешнего магнитного поля H0 в первом приближении получаем
+ vVr/' + EVv/oo + ^ = 0. (12.27)
Вопрос о виде интеграла соударений 9* вообще и в плазме в частности явился объектом детального анализа (см. [164] и указанную там литературу). Здесь ограничимся простейшим случаем, когда в уравнении для функции распределения электронов можно положить 9'= {vm (v) -f- г,- (у) }f, где Vm отвечает вкладу от соударений электронов с молекулами и v,— от соударений с ионами (простую интерпретацию такого выражения для ЗР см. в § 4 книги [84]). Рассматривая далее поле E = = E0 ехр [г (kr — со/) ] и функцию f = /^i k (v) ехр [і (kr — со/)], получаем из (12.27)
_ / (<й _ kv) f + JL (Ev) 1+ v {v)f ' = о, (12.28)
разумеется, в каждом конкретном случае нужно контролировать возможность пренебречь влиянием излучения на функцию распределения частиц. В качестве примера ситуации, в которой функция распределения частиц не будет равновесной в условиях неравновесности излучения, приведем газ релятивистских электронов в сильном магнитном поле (например, вблизи пульсаров). Тогда в результате больших магнитотормозных потерь функция распределения электронов должна быть, вообще говоря, сильно анизотропной (см., например, гл. 4).
*) В постоянном и однородном магнитном поле H0 равновесная функция распределения остается максвелловской, несмотря на то, что траектории движения отдельных частиц в поле и без поля различны (см. также ниже). Кроме того, член с магнитным полем в (12.24) содержит множитель о/с. Поэтому ограничения на магнитное поле уже иные, чем на электрическое,
<292 „ г dfоо V mv г V
где учтено, ЧТО Vv/oo =- = — -^J too- И положено V =
= vm + V(. Отсюда находим
р __,•_?__(Ev) 1 д/00 е (Ev) /00 ПОЭСЛ
1 т (со - kv + Zv (о)) а да -лТ (со — kv + Zv (о)) '
Далее, по определению для плотности тока или, точнее, соответствующей фурье-компоненты имеем
к) = -?(8«К к)-б„) ?,(«», = k(v)dv. (12.30)
Подставляя (12.29) в (12.30), получаем
Ane2 Г ViVi 1 діпп
Zij (со, к) = б,Н--\ ----^dv. (12.31)
" v ' 1,1 ma> J со — kv + iv (v) v dv v '
При учете же как электронов (заряд е = в\, масса m = mi), так и ионов разных сортов (заряды еа, массы ma, а = 2, ,..,/) находим
I 2
Een Г ViVi 1 дInn „ —-, . . --^rfv. (12.32)
maffl J cd — kv + iVd (о) V dv v 7
о = 1
Из (12.28) — (12.32) сразу же очевидно, что пренебрежение пространственной дисперсией, т. е. зависимостью от к, эквивалентно пренебрежению членом с kv по сравнению с a>-}-iv(u). Тем самым при неучете соударений мы приходим к условию (12.20), как этого и следовало ожидать.
Для установления соответствия с элементарной теорией пренебрежем в знаменателе (12.31) членами — kv-f-z'v(u) по сравнению с со. Тогда сразу же находим результат (12.4)
Zij = zbijt е = 1 — 4 ne2N/та2,
поскольку
I tn
) ViVj -^rfoo dv = oltN.
При пренебрежении же членом kv, но с учетом члена iv(v) получаются уже приводившиеся выше выражения элементарной теории с соответствующими значениями эффективного числа соударений V3(J)1J) (подробные расчеты см. § 6 в книге [84]). Будем теперь считать соударения несущественными, но учтем пространственную дисперсию. Тогда, правда, возникает вопрос о том, как вычислить интегралы в (12.31) и (12.32) вблизи полюса
со = kv, (12.33)
