Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Помимо уже сделанных оговорок, определяющих область применимости полученных формул, нужно также указать на ограничения, связанные с использованием классической теории. В отсутствие соударений квантовое ограничение при рассмотре-
28 нии взаимодействия излучения со свободными электронами связано с условием
Йсо «С тс2 = 0,51 • IO6 эВ. (12.17)
При соблюдении этого требования рассеяние электромагнитных волн на свободных электронах при всех углах рассеяния можно описывать классически. Далее показатель преломления га =Ve =Ve' (считаем, что со2 v^) определяется фактически рассеянием волн на частицах среды, откуда в конечном счете следует справедливость выражения (12.4). В том же можно убедиться и другими способами. При учете соударений и вычислении поглощения (т. е. проводимости а = сое"/4л) нужно также иметь в виду условие
/2(0 < XT= 1,38 • 10_16Г(Д'). (12.18а)
Смысл этого условия — малость энергии фотонов по сравнению с кинетической энергией электронов (подробнее о таком требовании см., например, в § 3 в [84]). Поскольку речь сейчас идет о нерелятивистской плазме, когда
-Cmc2, (12.186)
неравенство (12.18а) значительно жестче условия (12.17), но требование (12.18а), как сказано, не играет роли при вычислении величины є' (при (о2 > V2ij5 ji).
Для неограниченной применимости классической теории нужно также, чтобы электронный газ оставался невырожденным; это эквивалентно требованию
Т^Та~П2Ыъ1т%. (12.19)
Смысл температуры вырождения T0 таков: при этой температуре энергия %Т0 порядка нулевой энергии
mr m
связанной с локализацией электрона в объеме порядка г3~ 1 /Ar-Другая интерпретация температуры То, разумеется, совершенно эквивалентная упомянутой, состоит в том, что при этой темпе-ратуре длина волны де Бройля X^ = k/mv0, V0 ~ л/%Т0/т порядка расстояния между частицами г ~ iV_1/a (как часто бывает, полное совпадение различных по форме условий имеет место, если пользоваться вместо X длиной X= Xf2n = Hfmvо).
В большинстве встречающихся случаев (хотя и далеко не всегда) условия (12.16) — (12.19) выполняются и значительно более существенными оказываются ограничения, связанные с тем,что выше не учитывалась пространственная дисперсия. По самому смыслу пространственной дисперсии (см. гл. 11) она
10 В. Л. Гинзбург
289 несущественна лишь в том случае, когда поле (скажем, поле волны с частотой со и длиной волны A, = 2n/k) мало изменяется на расстоянии, ответственном за формирование «отклика» среды, например на создание поляризации P под влиянием поля Е. В плазме при учете теплового движения электрон за период т = 2л/со проходит расстояние ? ~ xv ~ л/пТ/т т. Пространственной дисперсией можно, как ясно из сказанного, пренебречь при условии, что g <С X, т. е. при
(12'2°)
Для волны, распространяющейся в среде,
E ~ ехр і (kz — со/) ~ ехр /со (г/Иф — /),
и, очевидно, фазовая скорость волн равна
иф = со jk. (12.21)
Отсюда и из (12.20) ясно, что для волн, свободно распространяющихся в плазме, пространственной дисперсией можно пренебречь, если
Vф > V ~ л/хТ/т . (12.22)
При использовании уравнения (12.3) пренебрежение пространственной дисперсией нашло отражение в том, что поле записано в виде E= E0ехр (—tat), а не в форме
Е = Е0ехр [і(кгп (/)-©/)].
Поскольку игнорирование пространственной дисперсии эквивалентно, таким образом, неучету теплового движения частиц плазмы, говорят о приближении «холодной» плазмы. Иными словами, плазму, рассматриваемую без учета теплового движения, называют холодной плазмой.
Забегая несколько вперед, заметим, что для волн поперечного поля требование (12.22) в рассматриваемой нерелятивистской плазме всегда хорошо выполняется. Для продольного поля, напротив, это неравенство легко нарушается. Лучший способ детально и надежно выяснить условия, когда можно пренебречь пространственной дисперсией, состоит, разумеется, в анализе конкретной ситуации на основе общих выражений, в которых эта дисперсия принята во внимание. Здесь мы остановимся лишь на наиболее распространенном и общем методе, позволяющем учитывать частотную и пространственную дисперсию,— на методе кинетического уравнения.
Будем описывать состояние плазмы с помощью функции распределения f(t, г, v), определяемой таким образом, что среднее число частиц dN в объеме dr dv = dx dy dz dvx dvy dvz равно dN = /(/, r, v) dr dv, где r — радиус-вектор и v — скорость частиц.
<290 Тогда по определению (это есть условие нормировки)
+ OO
5 /(/, г, v)dv = N (t, г) (12.23)
— OO
где N— концентрация частиц (для простоты мы здесь и ниже имеем в виду электроны, т. е. / = fe и N = Ne', в случае ионов или молекул индекс е нужно заменить соответственно на і или т).
Кинетическое уравнение, определяющее функцию /, имеет вид -g- + VVr/ + ~ (е + і [vH]) Vv/ + 9> = 0, (12.24)
где е и т — заряд и масса рассматриваемых частиц, E и H-напряженности действующих на частицы электрического и магнитного полей (практически эти поля можно обычно считать средними макроскопическими полями) и
(разумеется, можно пользоваться не только декартовыми координатами, и здесь они выбраны лишь для конкретности); величина Sp в (12.24) представляет собой так называемый интеграл столкновений (соударений), учитывающий изменение функции / в результате столкновений частиц данного сорта (например, электронов) в области dr dv с частицами всех других сортов, а также с другими частицами данного сорта (т. е. с частицами данного сорта, находящимися в других областях фазового пространства). В 9> можно также включать члены, определяющие изменение функции / за счет ионизации, рекомбинации и т. п.
