Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
1в. Если две точки Л, В прямой а лежат в плоскости а, то всякая точка прямой а лежит в плоскости а.
58
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
В этом случае мы говорим: прямая а лежит
в плоскости а и т. п.
I,. Если две плоскости а и$ имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере ещё одну общую точку В.
18. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Аксиома I, выражает, что пространство имеет не более трёх измерений; напротив, аксиома 18 выражает, что пространство имеет не менее трёх измерений.
Аксиомы 1,_3 можно назвать плоскостными аксиомами группы I, в отличие от аксиом 14_8, которые я назову пространственными аксиомами группы I.
Из теорем, вытекающих из аксиом 1,_8, я упомяну только следующие две:
Теорема 1. Две прямые, лежащие в одной и той же плоскости, имеют либо одну общую точку, либо не имеют ни одной. Две плоскости либо не имеют ни одной общей точки, либо имеют общую прямую и никаких других (не лежащих на этой прямой) общих точек. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо ие имеют общей точки, либо имеют одну общую точку.
Теорема 2. Через прямую и точку, не лежащую на ней, так же как через две различные прямые, имеющие общую точку, всегда можно провести плоскость и притом только одну [4].
§ 3. Вторая группа аксиом. Аксиомы порядка *)
Аксиомы этой группы определяют понятие «между» и делают возможным на основании этого понятия установить порядок точек на прямой, плоскости и в пространстве.
Точки прямой находятся в определённых соотношениях друг с другом. Для описания этих соотношений большей частью пользуются словом «между».
*) Аксиомы эти впервые подробно исследовал М. Паш в своих «Лекциях по новой геометрии» (М. Ра s с h, «Vorlesungen iiber neuere Geometrie», Leipzig, 1882). В частности, аксиома II4 принадлежит М. Пашу.
§ 3. ВТОРАЯ ГРУППА АКСИОМ
59
II,. Если точка В [черт. 1] [6] лежит между точкой А и точкой С, то А, В, С суть три различные точки прямой, и В лежит также между С и А.
Л в С
Черт. 1.
И2. Для любых двух точек А и С [черт. 2] на прямой АС существует по крайней мере одна точка В такая, что точка С лежит между А и В.
А —*—
С
-t-
в
н—
Черт. 2.
И3. Среди любых трёх точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
Кроме этих аксиом порядка на прямой (линейных аксиом порядка), необходима ещё одна аксиома, относящаяся к порядку на плоскости.
Определение. Мы рассматриваем на прямой а две точки А и В; систему двух точек А и В мы называем отрезком и будем её обозначать через АВ или ВА. Точки, лежащие между А и В, называются точками отрезка АВ или точками, расположенными (лежащими) внутри отрезка АВ; точки А и В. называются концами отрезка АВ. Все остальные точки прямой а называются точками, лежащими вне отрезка.
Н4. Пусть А, В, С—три
точки, не лежащие на
одной прямой, и а — прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С [черт. 3]; если при этом прямая а проходит через одну из точек отрезка АВ, то она должна пройти через одну из точек отрезка АС или через одну из точек отрезка ВС.
60
ГЛ. 1. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Выражаясь наглядно, говорят; если прямая входит во внутрь треугольника, то она также выходит из треугольника. Тот факт, что прямая а не может при этом пересечь оба отрезка АС и ВС, может быть доказан [®].
§ 4. Следствия из аксиом соединения и порядка
Из аксиом групп 1 и 11 следуют теоремы:
Теорема 3. Для любых двух точек А и С на прямой АС существует по крайней мере одна тоика Dt лежащая между А и С.
Доказательство. Согласно аксиоме 13 вне прямой АС |черт. 4] существует некоторая точка Е, а в силу
г
аксиомы П2 на прямой АЕ существует такая точка F, что Е является точкой отрезка AF. В силу той же аксиомы и аксиомы П3, на прямой FC существует точка G, не лежащая на отрезке FC. Таким образом, на основании аксиомы П4, прямая EG должна пересечь отрезок АС в некоторой точке D.
Теорема 4. Среди трёх точек А, В, С на одной и той же прямой всегда существует одна, лежащая между двумя другими.
Доказательство*). Пусть А не лежит между В и С и С не лежит между Л и В. Проведём через точку D [черт. 5], не лежащую на прямой Л С, и точку В прямую и выберем — что можно сделать в силу аксиомы 112 — на этой прямой точку G так, чтобы точка D лежала между
*) Это доказательство принадлежит А. Вальду (A. Wald).
§ 4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ СОЕДИНЕНИЯ И ПОРЯДКА 61
В и G. Применив аксиому 114 к треугольнику BCG и прямой AD, мы получим, что прямые AD и CG пересекаются в некоторой точке Е, лежащей между С и О; таким же образом получается, что прямые CD и AG пересекаются в точке F, лежащей между А и О. Если применить теперь аксиому 114 к треугольнику AEG и прямой CF, то окажется, что D лежит между А и Е, а применив ту же аксиому к треугольнику АЕС и прямой BG, мы убедимся в том, что точка В лежит между А и С.
