Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Сами эти отрезки (составляющие по осям), рассматриваемые теперь как объекты исчисления, мы называем координатами х,у точки М. Основной результат заключается в том, что уравнения прямых будут иметь обычный вид:
ах -(- Ьу‘-(- с — О,
однако при условии, что коэффициенты а, Ь при текущих координатах х,у (а,Ь,с — тоже отрезки, объекты нашего исчисления) стоят слева, что теперь весьма существенно (ахфха и т. д.).
Таким образом, вводится аналитическая геометрия на неархнмедовой проективной плоскости. Конечно, несобственные точки здесь координат не получают, — чтобы приписать координаты и им, пришлось бы перейти к однородным координатам в точности так, как это делается обычно. Только однородные координаты xlt х2, xs будут теперь характеризоваться тем, что они задаются с точностью до умножения справа на общий множитель р^О.
После введения аналитической геометрии без особого труда решается следующий вопрос, который Гильберт рассматривает как основной в главе V.
Будем рассматривать геометрию на плоскости нашего пространства. Объектами этой геометрии будут точки н прямые, принадлежащие данной плоскости. Из рассматриваемых аксиом (группы 1, II и IV, см. § 22) придется сохранить лишь плоскостные, т. е, относящиеся к построениям, умгщающимся на плоскости (Ij_s II]_4 IV*). Кроме того, на плоскости имеет место теорема Дезарга (теорема 53). При доказательстве этой теоремы, которое можно найти в любом курсе проективной геометрий, используются пространственные построения, несмотря на плоскостной характер самой теоремы. Гильберт показывает, что это не слу-
42
П. К. РАШЕВСКИЙ
чайно: на основании только одних перечисленных плоскостных аксиом теорема Дезарга не может быть доказана (даже если усилить их за счбт аксиом непрерывности и всех аксном конгруентности, кроме последней, 1Н6). Правда, при помощи всех аксиом конгруентности теорема Дезарга может быть доказана без выхода в пространство, но это нас сейчас не интересует, так как мы занимаемся проективной геометрией и понятия конгруентности не рассматриваем.
Итак, справедливость теоремы Дезарга на плоскости есть требование, не вытекающее аз плоскостных аксиом проективной геометрии. Поэтому, желая строить плоскую геометрию самостоятельно — без выхода в пространство, мы должны присоединить теорему Дезарга в качестве новой аксиомы к плоскостным аксиомам
1,-3. Н..4, IV*.
Оказывается, далее, что такое расширение плоскостных аксиом является уже достаточным для нашей цели. А именно, в плоской геометрии, где имеют место плрскостные аксиомы и теоргма Дезарга, можно построить исчисление отрезков (§§ 24—26) и ввести аналитическую геометрию (§ 27), о которых мы уже говорили. Получив, таким образом, дезаргову числовую систему, мы используем её (§ 29) для формально аналитического построения пространства (точкой называется тр-ойка элементов дезарговой системы и т. д.), в котором соблюдены все аксиомы 1, II, IV и на плоскостях которого осуществляется исходная плоская геометрия.
В этом н заключается основной рэзультат: чтобы геометрию, построенную, на плоскостных аксиомах 1,_3, IIj_4, IV*, можно было осуществить на плоскостях некоторого пространства (удовлетворяющего аксиомам I, II, IV), необходимо и достаточно, чтобы кроме указанных плоскостных аксиом в. этой геометрии имела место и теорема Дезарга.
Глава VI посвящена дальнейшему углублению тех же вопросов. В главе V речь шла о неархимедовой проективной геометрии, т. е. о геометрии, основанной на аксиомах I, II, IV и не опирающейся, следовательно, на аксиомы конгруентности III и аксиомы непрерывности V. Но это не означало, конечно, что отброшенные аксиомы обязательно
«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
43
неверны в нашей геометрии. Действительно, все наши выводы остаются правильными в том частном случае, когда, помимо положенных в основу аксиом I, II, IV, верны некоторые или. даже все отброшенные аксиомы.
В частности, можно поставить вопрос о том случае нашей геометрии, когда, помимо аксиом I, II, IV, справедлива и аксиома Архимеда. Аксиому Архимеда приходится формулировать теперь иначе, чем в первой главе, так как сейчас у нас нет понятия о конгруентности отрезков, а следовательно, и об откладывании данного отрезка от данной точки. Но зато у нас . есть понятие о сложении отрёзков в смысле исчисления отрезков , §§ 24—26, и под последовательным откладыванием данного отрезка а мы будем понимать последовательное составление сумм
(X —(X —а —...
Аксиома Архимеда будет заключаться в том, что сумма этого вида способна превзойти всякий наперёд заданный отрезок Ь при достаточно большом числе слагаемых а (подразумевается, что оба отрезка а и b суть отрезки — элементы исчисления, а потому откладываются от одной точки О и по одной прямой; кроме того, считаем а О, b 0).
Как показано в § 32, введение этой аксиомы влечёт за собой коммутативность умножения в дезарговой числовой системе, а значит, и справедливость теоремы Паскаля. Действительно, в § 34 доказано, что то и другое эквивалентно. В этом и заключается специализация нашей геометрической системы в результате присоединения аксиомы Архимеда. Тут остаётся,, однако, сомнение такого рода: может быть, коммутативность умножения и теорему Паскаля можно доказать, и не присоединяя к принятым аксиомам I, II, IV аксиомы Архимеда? Тогда специализация, о которой идёт речь, оказалась бы фиктивной. Этот вопрос решается в § 33, где дан пример существенно некоммутативной (а, следовательно, существенно неархимедовой) дезарговой числовой системы. Употребляя элементы этой числовэй системы для аналитического построения пространства (точка — тройка элементов х, у, z н т. д., согласно § 29), мы получаем геометрию, в которой имеют место
