Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Особо следует подчеркнуть, что у нас не утверждается, что каждому значению х отвечает точка на прямой.
Пусть требования 1, 2,3, 4 выполнены. Выберем какую-нибудь точку О в качестве начала координат (т. е. в качестве точки с координатой 0) и какую-нибудь точку А в качестве
примечания [34] 437
точки с координатой 1. Пусть теперь М—произвольная точка, для определённости лежащая с той же стороны от О, что и А. Построим отрезок п-ОМ, откладывая ОМ последовательно п раз, и отрезок т-ОА, откладывая О А последовательно т раз. Здесь п и т — произвольные целые числа.
Разобьём все положительные рациональные числа — на два
класса. К верхнему классу относим число в том случае, если
ti'OM < т-ОА,
а к иижнему классу — в том случае, если
п-ОМ^т-ОА.
Предоставляем читателю проверить, что мы здесь имеем дедекиндово сечение в области положительных рациональных чисел, которое определит нам некоторое действительное (положительное) число д:, рациональное или иррациональное. Это число мы и примем за координату точки М.
Пусть теперь Aft и М3 — две точки, лежащие от О по одну сторону с А и следующие в порядке О, My М2. Следовательно,
ОМ-i > ОМх.
Если взять п достаточно большим, то разность этих отрезков, повторённая п раз, превзойдёт отрезок ОА (в силу аксиомы Архимеда). Пусть т — наибольшее число, при котором
п-ОМх^ т-ОА,
н следовательно,
п-ОМх < (т -f- 1)-0А.
В силу сделанного выбора я, очевидно, что
n-OM2Sz(m-l- \ )-0А.
Беря теперь дедекиндовы сечения, отвечающие точкам Mi т 4-1
и Mi, мы виднм, что число -—^— относится к верхнему классу
в первом случае и к нижнему классу во втором случае. Согласно теории иррациональных чисел, отсюда вытекает, что
х. > хъ
где хг, Ху определяются этими сечениями и, по условию, представляют* собой координаты точек М\ и М3.
Если теперь взято какое угодно число точек иа прямой, идущих в порядке О, М\, М-2,..., М„ (в сторону А), то для их координат мы имеем: "
О < xt < x-i < ... < хп,
чем и доказано утверждение I) для случая расположения точек на «положительной полупрямой». Для точек, расположенных от
438
примечания [34]
О по другую сторону от А, мы вводим совершенно аналогично отрицательные координаты и повторением тек же рассуждений убеждаемся в справедливости утверждения I) в общем виде.
Мы утверждаем, далее, что если на прямой в положительную сторону от О взяты точки Мь Мг, М, причём Мг лежит между О и М и отрезок М\М конгруентен отрезку ОМ3, то
х = х1 + хь
где х, хь х, — координаты точек М, Мь Мр
В самом деле, пусть из нижних классов сечений хх и х3 взято по рациональному числу, которые обозначены (после приведения к общему знаменатели^
т1 тг
— и — . п п
Тогда
п ¦ ОS? «1 • ОА, п • ОМ, 5а ¦ О А,
откуда
п ¦ ОМ («1 -f- тд ¦ О А.
В левой части неравенства мы получаем непосредственно п раз отложенный отрезок 0МХ и вслед за этим п раз отложенный отрезок ОМ,;, после перегруппировки слагаемых мы получаем п раз повторённую сумму отрезков 0М\ и ОМ», т. е. п-ОМ.
То, что в геометрической сумме отрезков мы можем переставлять слагаемые, не меняя суммы, получается так: достаточно убедиться в этом для двух соседних слагаемых; но последнее автоматически вытекает из аксиомы 1П3, так как в её формулировке ничего не сказано о порядке, в каком «приставляются» друг к другу слагаемые отрезки А'В' и В'С1 и, следовательно, при любом их порядке сумма А'С' конгруентиа АС, т. е. А'С' будет одной и той же (с точностью до конгруентности).
.. «1 + Щ
Из последнего неравенства следует, что ‘ относится
к нижнему классу сечеиия х, т. е. сумма чисел из нижних классов сечений ЛГ], х3 даёт всегда число из иижиего класса сеченнях.
Совершенно аналогично доказывается то же самое и для верхних классов. Отсюда, согласно теории иррациональных чисел, следует
х = хх-\~ хг.
Другими словами, отложить от точки Мг (Xj) д а н-н ы й отрезок (в положительную сторону),
значит — построить точку М (х) с координатой х — хх 4- хг, где xt > 0 — к о о р д и н а т ы т о ч к и Щ.
Это утвержделие доказано у нас при Xi>0, но нетрудно, конечно, повторить аналогичные рассуждения и для общего слу-
ПРИМЕЧАНИЯ [34]
439
чая. Теперь, поскольку откладывание данного отрезка равносильно добавлению к координате точки постоянного слагаемого, то мы немедленно убеждаемся в справедливости утверждения II).
Наконец, утверждение III) также сейчас же вытекает из последней формулировки (напечатанной разрядкой).
