Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, порядок точек А', В', Р должен быть в точности таким, как и течек А, В, Р. Это следует из теоремы 27. Поэтому, если Р' существует, то мы найдём её единственным образом, а именно, откладывая от точки А' отрезок А’Р', конгруентный АР, в сторону точки В', если Р и В лежат по одиу стЪрону от А, и в противоположную сторону, если Р и В лежат по разные стороны от А.
Покажем теперь, что точка, которую по этому способу всегда можно построить, будет обязательно искомой точкой Р', т. е. что искомая точка Р' всегда существует.
Пусть С—произвольная точка фигуры (А, В.........L) и С'—
соответствующая ей точка фигуры (А1, В', ..., /.').
Тогда, в силу конгруентности фигур,
САВ^^С'А'В'.
Отсюда следует
САР^ С'А'Р',
так как углы нижней строки либо совпадают с углами верхней строки (если Р, В лежат по одну сторону А и Р', В' — по одну сторону /4')>либо являются по отношению к иим смежными (если Р. В—-по разные стороны от А и Р', В' — по разные стороны от А'; см. теорему 14).
ПРИМЕЧАНИЯ [32]
431
В силу теоремы 12, треугольники САР и С'А'Р' конгруентны, откуда
СЯ= С'Р'.
В рассуждении молчаливо предполагалось, что С не лежит на прямой АВ (и, следовательно, С' не лежит на А'В'). Доказательство в случае С, лежащей на АВ, ц С1, лежащей на А'В', ещё более просто. Его мы предоставляем читателю.
Итак, при дополнении фигур точками Я и Я' продолжает иметь место конгруентность всех соответствующих отрезков.
Конгруентность соответствующих углов без труда получается по теореме 18.
2. Пусть Я не лежнт на одной прямой ии с какими двумя точками фигуры (А, В, ... , L), причём А, В, ... , L не лежат все на одной прямой.
Тогда можно указать две различные прямые, соединяющие попарно точки фигуры, например, АВ и АС (черт. 26). Точка А разбивает прямую АС на два луча, один Черт. 26. из которых лежит с Я по разные стороны
от АВ. Возьмём на этом луче какую-нибудь точку Рх\ тогда прямая ЯЯх пересекает АВ в некоторой точке Я2.
Итак, точка Я лежит на прямой Р^2, где Ях взято на АС, а Я2 —на АВ.
По доказанному в пункте 1, на прямых А'С1 и А'В' можно (единственным образом) указать точки р'г и Р2, так, что дополненные фигуры (А, В, Ръ Я3) и (А‘, В', ..., V, Я^ Р2) будут конгруентны.
Снова применяем пункт 1 уже к дополненным конгруентным фигурам н к точке Я, лежащей на Р\Р%. Тогда на Р[Р2 можио указать точку Я1 так, что фигуры (А, В, .. ,,L, Р\, Я2, Я) и (-4', В', .'.., L',P[, Р2, Р') будут конгруентны. *
Покажем, что Я' определится единственным образом. Допустим, что имеется ещё какая-то точка Я' такая, что фигуры (-4, В,..., L, Р) и (А1, В', ..., L', Р’’) будут конгруентны. Тогда, согласно ‘ пункту I,-можно найти точки Р{, Р2, так что
(А, В, ... , L, Я, Рь Я2) н (А1, В', ..., /.', Я', Р'[, Р2) конгруентны. Тем более будут конгруентны эти фигуры, еслн из ннх удалить точки Я и Я'; но этими условиями у нас немного выше однозначно определялись точки Р[, р'2, следовательно, я” совпадает с я[, и Р2 совпадает с Р2.
Итак, фигуры
(А, В......L, Яь Я2, Я) и (А', В'........L', р[, Я', Р”)
432
ПРИМЕЧАНИЯ [32—33]
конгруентны. В силу единственности построения точки Я'в пункте 1, мы, сравнивая две полученные конгруентности; заключаем, что Р" совпадает с Р'.
3. Пусть все точки фигуры (А, В, ... , L) лежат на одной прямой, причём Р лежит вне этой прямой.
Тогда, в снлу пункта 1 (начало доказательства), точки А', В', ..., V тоже лежат на одной прямой и (по теореме 27) в соответствующем порядке.
Отложим при луче А'В' угол, конгруентный углу РАВ, и на свободной стороне этого угла отложим отрезок А'Р', конгруентный АР. Итак:
<$РАВ^<$Р'А'В\ АР^А'Р'.
Мы утверждаем, что точка Р‘ будет искомой. Действительно, пусть С — произвольная точка первой фигуры. Угол -QPAC либо совпадает с <$ РАВ, либо является его смежным. В первом случае <?Р'А'С1 совпадает с -QP'A'B', а во втором случае является его смежным; действительно, если С и В лежат по одну сторону от А, то и С' и В' — по одну сторону от А' и т. д.
Так как
*$РАВ = <$ Р'А'В', то отсюда вытекает, что во всяком случае ^РАС=^Р'А'С.
Кроме того
АР—А'Р', АС = А'С'.
л По теореме 12:
РС^Р'С'.
Конгруентность фигур (А, В, ..., L, Р) и (А', В'...L',P')
доказана (в рассматриваемом случае точка Р' не определится однозначно, так как её можно заменить с таким же успехом её зеркальным отражением относительно прямой A'B'...L').
[33] Глубокое принципиальное значение теоремы 28 для геометрии плоскости и теоремы 29 для геометрии пространства заключается в установлении связи между понятиями конгруентности и движения.
Уже в области физического оиыта соответствующие понятия тесно связаны друг с другом. Так, желая сравнить по длине два стержия, мы одии из них переносим и накладываем на другой. Таким образом, в практическом опыте конгруентность двух объектов появляется прежде всего как возможность совместить их путём движения.
