Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Подобно тому как может быть доказано существование наименьшей бесконечности, может быть доказано также и существование совокупности действительных чисел; действительно, аксиомы, как они бщли установлены мною для дей-
ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ
337
ствительных чисел*), могут быть выражены в точности такими же формулами, как и установленные до сих пор аксиомы. Что же касается, в частности, той аксномы, которую я назвал аксиомой полноты, то она выражает, что совокупность действительных чисел содержит каждое множество, элементы которого равным образом удовлетворяют предшествующим аксиомам; при этом слово «содержит» надо понимать в смысле взаимно однозначного соответствия элементов. При таком толковании аксиома полноты представляет собою требование, тоже выражаемое с помощью формул вышеуказанного характера, и аксиомы для совокупности действительных чисел качественно ни в каком смысле не отличаются оТ аксиом, необходимых, например, для определения целых чисел. В познании этого факта, как мие думается, заключается объективное опровержение взгляда, который защищал Кронекер и который в начале моего доклада был квалифицирован как догматическая трактовка основ арифметики.
Точно так же доказывается, что основным понятиям канторовского учения о множествах и в частности кан-торовским алефам присуще непротиворечивое существование.
Гейдельберг, август 1904 г.
' *) См. стр. 111—113, гл. III.
22 Д. Гильберт
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
О БЕСКОНЕЧНОМ*)
(Сокращённая статья из Mathematischen -Annalen, т. 95)
Вейерштрасс своей критикой, которую он проводил с мастерской остротой, положил твёрдые основания математического анализа. Выяснив, среди остальных понятий, понятия минимума, функции, производной, он тем самым устранил недочёты, имевшие место в исчислении бесконечно малых, очистил его от всех расплывчатых представлений о бесконечно малом и окончательно преодолел при этом трудности, вытекающие из понятия «бесконечно малое». Если теперь в последовательности умозаключений, которые основаны на понятии иррационального числа и вообще предела, царит в анализе полное единодушие и уверенность — даже в самых запутанных вопросах, касающихся теории дифференциальных и интегральных уравнений, — если, несмотря на самые смелые и многообразные результаты, несмотря на нагромождение и перекрещивание пределов, всё же имеется
*) Доклад, прочитанный 4-го июня 1925 г. на съезде математиков, организованном вестфальским математическим обществом в Мюнстере в память Вейерштрасса; ср. другие мои сообщения на эту же тему: «Neubegrtindung der Mathematik», Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universilat, т. I, стр. 57, 1922; «Die logischen Grundlagen der Mathematik», Math. Ann. т. 88, стр. 151, 1922; «Die Grundlagen der Mathematik», Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universitat, т. VI, стр. 65,1928 (здесь приложение IX); «Рго-bleme der Grundlegung der Mathematik», Abhandlungen des Inter-nationalen Mathematischen Kongresses zu Bologna, 1928, также Math. Ann. т. 102, 1929 (здесь приложение X).
О БЕСКОНЕЧНОМ
339
совпадение всех результатов, то это — существенная заслуга научной деятельности Вейерштрасса.
Однако обоснованием, данным анализу бесконечно малых Вейерштрассом, дискуссия об основах анализа не закончилась.
Причина этого лежит в том, что значение бесконечного для математики ещё не выяснено до конца. Правда, бесконечно малое и бесконечно большое были из анализа Вейерштрасса исключены тем, что высказывания, относящиеся к этим понятиям, были сведены к соотношениям между конечными величинами. Но бесконечное всё же выступает снова в бесконечных числовых последовательностях, определяющих действительное число, и затем в понятии системы действительных чисел, которая воспринимается точно так, как предстоящая перед нами готовая и законченная совокупность.
Формы логических умозаключений, в которых выражается эта трактовка, — когда, например, идёт речь о всех действительных числах, обладающих известным свойством, или о том, что существуют действительные числа, обладающие известным свойством, —- суть как раз те формы, к которым неограниченно обращаются в вейерштрассовском обосновании анализа и которые применяют, постоянно повторяя.
Благодаря этому бесконечное сумело снова в прикрытом виде пробраться в теорию Вейерштрасса, не будучи задето остротой его критики; отсюда следует, что проблема бесконечного и есть как раз то, что нам в указанном смысле необходимо ещё выяснить до конца. Мы должны бесконечное, в смысле бесконечной совокупности, в тех случаях, где оно встречается в выводах ещё и теперь, понимать как нечто кажущееся, подобно тому, как в предельных процессах исчисления бесконечно малых оказалось возможным показать, что бесконечное, в смысле бесконечно малого и бесконечно большого, есть просто оборот речи. И подобно тому как действия с бесконечно малыми были заменены процессами в конечном, ко+орые дают те же результаты и приводят к тем же изящным формальным соотношениям, выводы, содержащие бесконечное, должны быть вообще заменены конечными процессами, дающими в точности те же результаты, 22*
