Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Я хотел бы обратить внимание на то, что аксиомы 1,2 вообще не содержат высказывания вида а, т. е. высказывания, благодаря которому некоторая комбинация попадает в класс несуществующих. Таким образом, мы могли бы также удовлетворить этим аксиомам, если бы мы поместили в класс существующих все комбинаций этих двух простых вещей, а клЭсс несуществующих вещей оставили бы пустым. Ранее выбранное нами разделение на два класса всё же лучше показывает, как следует поступать в дальнейшем, когда мы встречаемся с более трудными случаями.
Продолжая построение логических основ математического мышления, мы к двум основным мыслимым вещам 1, = присоединяем, далее, ещё три мыслимые вещи: б (беско-
ОВ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ
329
нечное множество, бесконечное), с (следующее), с' (ведущая операция), установив для этих последних следующие аксиомы:
3. с (б х) = б (с' х),
4. с (б х) = с [б у) | б х = бу,
5. с (б х) — б 1.
При этом произвольное х (в смысле лгМ) может означать каждое из пяти положенных нами теперь в основу мыслимых вещей и каждую их комбинацию. Мыслимую вещь б мы будем кратко называть бесконечным множеством, а комбинацию б л: (например, 61, 6(11), б с) — элементом этого бесконечного множества. В таком случае аксиома 3 выражает, что за каждым элементом бх следует вполне определённая мыслимая вещь с (6 х), которая равна некоторому элементу б(с'лг), т. е. опять-таки принадлежит множеству 6. Аксиома 4 говорит о том, что если за двумя элементами множества б следует один и •тот же элемент, то и эти первоначальные элементы равны друг другу. Согласно аксиоме 5, в б не существует элемента, за которым следовал бы элемент 6 1; поэтому этот элемент б 1 мы будем называть первым элементом в б.
Мы должны теперь аксиомы 1—5 подвергнуть соответствующему исследованию, подобно тому, как мы это сделали раньше с аксиомами 1,2; при этом надо отметить, что действие этих аксиом 1, 2 расширилось, поскольку теперь произвольные х, у означают любые комбинации пяти, простых вещей, положенных нами в основу.
Мы снова ставим вопрос о том, находятся ли некоторые следствия из аксиом 1—5 в противоречии друг с другом, или же напротив, положенные нами в основу пять мыслимых вещей 1, =, б, с, с' и их комбинации можно так распределить между классом существующих и классом несуществующих, что аксиомы 1—5 по отношению к этому распределению на классы выполняются, т. е. что всякое следствие из этих аксиом становится истинным высказыванием в смысле этого распределения на классы. Чтобы ответить на этот вопрос, обратим внимание на то, что аксиома 5
330
ДОБАВЛЕНИЕ VII
является единственной аксиомой, дающей повод к, выска-зываниям вида а, т. е. дающей повод к тому, чтобы некоторая комбинация а из пяти положенных в основу мыслимых вещей принадлежала к классу несуществующих. Поэтому высказывания, которые вместе с аксиомой 5 образуют противоречие, во всяком случае должны иметь вид:
6. с (бл:<л>) = 61;
однако такое следствие из аксиом 1—4 ни в коем случае не может быть получено.
Чтобы усмотреть это, назовём равенство, т, е. мыслимую вещь а—b, однородным равенством в том случае, когда как а, так и b являются комбинациями двух простых вещей, или когда а и b оба являются комбинациями трёх, или — оба четырёх, или большего числа простых вещей; например, равенства
(11)= (сб), (сс) = (бО, (С11) = (б1=),
(С1)(с1) = (1111), (с(сс'б» = (1бб1),
<(сс) (111)) = ((1) (11)) (11)), (сб111=) = (661 1 1 б)
называются однородными. Из одних только аксиом 1, 2 следуют, как мы видели раньше, только однородные равенства, а именно равенства вида а = а. Точно так же аксиома 3, если мы в ней за х примем некоторую мыслимую вещь, даст нам только однородные равенства. В заключении аксиомы 4 опять-такй должны всегда находиться только однородные равенства, если только посылка представляет собою однородное равенство; таким образом, следствием аксиом 1 —4 могут быть только однородные равенства. Между тем, равенство 6, которое как раз и должно быть доказано, безусловно не однородно, так как в нём вместо хМ надо взять некоторую комбинацию, вследствие чего левая его часть будет представлять комбинацию трёх или большего числа простых вещей, между тем как его правая часть попрежнему остаётся комбинацией двух простых вещей: б и 1.
Тем самым, как мие кажется, указана основная идея, дающая возможность убедиться в правильности моего ут-
ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ,
331
верждения; для полного проведения доказательства необходимо понятие конечного порядкового числа и некоторые определённые теоремы, касающиеся понятия равночислен-ностн, которые на этой стадии можно уже действительно без труда установить н вывести; для полного проведения указанной основной иден надо принять во внимание ещё и те точки зрения, на которые я кратко укажу в конце своего доклада (ср. V).
Желаемое распределение на классы получается, таким образом, если все вещи а, где а есть вывод из аксиом
