Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
с вероятностью 1. Отсюда следует, что
Р{ sup р(?(0,|(П)>^}<
t , /*?=[0, Г]
Лемма 4. Пусть выполнены условия предыдущей леммы. Тогда
Р {д.® > СО ([lg! •?-])}<«( [lg2 ?]. с) . (7)
где
G(n) = S g(T2~m), Q (n, C) = ? 2mq(C,2T~m).
m^n m~n
Доказательство. Продолжим ход рассуждений предыдущей леммы. Пусть событие Dn имеет место. Воспользовавшись индукцией, докажем, что для любых & и m найдется такое целое jnm (0 < j„m < 2m+l) , ЧТО
n+m
с ^АК[^+МТУ <^т))<
п+т
<c?g(r2^). О)
а—л
232 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ IV
причем, как функция от т (п и ? фиксированы), величина /nm2~<n+m) монотонно не убывает. При т = О в качестве jno следует выбрать нуль, если р(?(?Г2_п), |( (k + 1) Т2~п)) ^ ^Cg(T2~n), и единицу, если р(|((6 —1 )Т2~п), |(kT2~n))^: ^ Cg(T2~n). При предположении Dn одно из этих двух неравенств обязательно имеет место. Пусть jnm уже выбрано. В качестве jnm+i следует взять 2jnm, если
р(|([^+^-]?-). |([^+^РЙг]г))<
<Cg (T2~in+m+l)\
и 2jnm+ 1, если
+ Щт)-' Е( + fsfe1] 0)<
<Cg(T2~(n+m+l)).
Такой выбор возможен, так как одно из этих неравенств, если происходит Dn, обязательно имеет место; если же выполнены оба неравенства, то выбор между указанными значениями jnm + 1 произволен.
Переходя в соотношениях (8) и (9) к пределу при т-> оо, получим, что для каждой выборочной функции, для которой Dn имеет место, найдется такое т = т(а), 0 ^ г ^ Т2~^п~1\ что
oSup^p(|(-^-r), l(^~T + t))^CG(n)
t<=I
И
sup p(|(^J-r + /), |(l+ir))<CG(n).
tfsl
Пусть еер^+ЧГ, 2~nT] и 0 <C.t" — t' < е. Найдется такое ky что (k — 1) 2-"Г < Г < t" < (k + 1) 2~пТ. Если t «= [f, t’% то либо (t',t)ci[(k—l)2_n Т, (k—l)2_n7’ + t], либо (t,i")cz c:[(fe— 1)2-пГ -f-т, (6+ 1)2~пТ\. Если при этом t', t и t" взяты из I, то выполняется по крайней мере одно из неравенств
Р (6 (О. I (0) < 2CG (п), Р (| (0,1 (П) < 2CG (п).
Из сепарабельности процесса вытекает, что одно из этих неравенств будет иметь место с вероятностью 1 для всякой выборочной функции процесса. Поэтому из Dn вытекает, что с вероятностью* 1
Деф<2С(?(я).
КРИТЕРИИ ОТСУТСТВИЯ РАЗРЫВОВ ВТОРОГО РОДА
233
В силу неравенства (5)
Р {ДЕ (?) > 2CG («)} < Р (Dn) < Q (п, С),
или, учитывая, что е^2-(«+1)Г, и монотонность функций g(h) и q (h), окончательно получаем
р{д,(у>со([|г!^.])}<в([1йХ.],с). ¦
Условия отсутствия разрывов второго рода, использующие частные распределения процесса. Из последней леммы сразу вытекает следующая
Теорема 1. Если ?(t), t е [О, Г], — сепарабельный стохастически непрерывный процесс со значениями в X, удовлетворяющий условиям
Р {[р (I (0.1 (t ~ h)) > Cg (h)} П [p (I (t + h), I (t)) >
>Cg(h)]}^q(C,h), (10)
где
oo oo
Zg(T2-n)<oo, Z2nq(C,T2~n)<00, (11)
n=i n=i
to l(t) с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода.
Доказательство. Положив в неравенстве (7) С — 1, увидим, что в условиях теоремы Ае (?) ->0 по вероятности при е->0. Но Ле(?), как функция от е, монотонно убывает при е | 0. Поэтому limAe(g) при е->0 существует с вероятностью 1 и равен нулю. ¦
Следствие. Пусть на [0, Т] задан стохастически непрерывный случайный процесс в широком смысле со значениями в полном сепарабельном локально компактном пространстве X, «трехмерные» частные распределения которого удовлетворяют условиям (10), (11). Тогда существует некоторое представление этого процесса, не имеющее разрывов второго рода.
Условия отсутствия разрывов второго рода, использующие условные вероятности. В предыдущей теореме условие отсутствия разрывов второго рода выражалось через свойства частных («трехмерных») распределений случайного процесса. Приведем результаты несколько иного характера. Они используют предположения, относящиеся к условным вероятностям, и применимы тогда, когда имеется важная информация о свойствах условных распределений процесса.
Пусть {5г, t е [0, 71]}—некоторый поток ст-алгебр. Предположим, что процесс l(t) подчинен потоку ст-алгебр {5*. t е [0, Г]}, т. е. при каждом /е[0, Г] случайный элемент \(t) gt-измерим.
234 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. IV
Введем величину а(е, б) = inf sup [Р {р (? (s), ? (t))
s, t
+ (oeQI, (12)
где inf берется по всем подмножествам Q' (Q'e@), имеющим вероятность 1. Нетрудно заметить, что существует такое Q0, P(Q°)= 1, Q°e@, на котором рассматриваемая точная нижняя граница достигается так, что
