Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
В настоящей главе рассматриваются различные условия, при которых для данной случайной функции существует стохастически эквивалентная (или стохастически эквивалентная в широком смысле) функция, обладающая определенными свойствами регулярности.
§ 2. Сепарабельные случайные функции
Идея сепарабельной случайной функции была уже введена в § 1. Оказывается, что свойство сепарабельности не является жестким ограничением на случайную функцию. При достаточно широких предположениях, относящихся только к природе области определения 0 и области значений X случайной функции, существует сепарабельная случайная функция, стохастически эквивалентная данной. Следует, однако, заметить, что при построении эквивалентной сепарабельной случайной функции иногда приходится расширять область значений функции, превращая ее в компактное множество.
В настоящем параграфе постоянно предполагается, что 0 и X — метрические пространства с расстоянием г(9),02) и p(xi,x2) соответственно, причем 0 сепарабельно. Роль классов множеств §1 и Q из определения сепарабельности играют замкнутые множества в X и открытые множества в 0. Таким образом, сепарабельность случайной функции в дальнейшем понимается в следующем смысле.
Определение. Случайная функция g(0, со) называется сепарабельной, если существуют в © всюду плотное множество
точек {0j}, / = 1, 2......и в Q множество N вероятности 0
такие, что для любого открытого множества G cz 0 и любого замкнутого множества F а X два множества
{со: g(07, co)?eF, 0/sG},
{ю: g(Q, со)eF для всех 0 е С?}
отличаются друг от друга только на подмножество N.
Счетное множество точек 0;-, фигурирующее в этом определении, называют множеством сепарабельности случайной функции.
Теорема 1. Пусть X и 0 — метрические пространства, X компактно, © сепарабельно. Произвольная случайная функция g(6, со), заданная на 0 со значениями в X, стохастически эквивалентна некоторой сепарабельной случайной функции.
СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
221
Докажем сначала три леммы. Пусть g(0, со) — сепарабельная случайная функция, /— множество сепарабельности и N — соответствующее исключительное множество точек со.
Обозначим через V класс всех открытых сфер пространства 0 с рациональными радиусами и с центрами в точках фиксированного счетного всюду плотного множества в 0. Класс V сче-тен. С другой стороны, произвольное открытое множество G из © может быть представлено как сумма (счетного числа) сфер из V.
Пусть A(G, со)— замыкание множества значений функции g(0, со), когда 0 пробегает множество / ПО, а
А (в, со) = П Л (S, со)
есть пересечение всех Л (5, со), когда S пробегает совокупность сфер из V, содержащих точку 0 в качестве своего элемента. Семейство замкнутых множеств A (S, со) (0 е S) является центрированным, т. е. любое конечное число множеств этого семейства имеет общие точки, и в силу компактности X их пересечение Л(0, со) непусто. Кроме того, /1(0, со) замкнуто. Из сепарабельности функции g(Q, со) следует (при ю ^ ЛГ)
|(0, со)е= Л(0, со). (1)
Обратно, если (1) выполняется для всякого со &N, P(N) = 0, то ^(0, со) — сепарабельная случайная функция. Действительно, если g(Q, со)е F для всех 0е/П5, где F — некоторое замкнутое множество в X и S <= V, то А (0, со) cz A (S, со) с F для всякого 0е5 и, следовательно, g(0, co)eF для всех 0 из S.
Если G — произвольное открытое множество в 0, то достаточно представить его в виде суммы G=[JSfe множеств из V,
k
чтобы убедиться на основании только что сказанного, что из g(Q, со)е/7 для всех 0e=/f|G, со фЫ,
следует
g (0, со) <= F для любого 0gG.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Лемма 1. Для того чтобы случайная функция g(0, со) была сепарабельной, необходимо и достаточно, чтобы существовало множество N, P(iV) = 0, такое, чтобы при со ф. N выполнялось (1).
Следовательно, чтобы построить для g(d, со) сепарабельную стохастически эквивалентную функцию, достаточно найти функцию g (0, со), удовлетворяющую (1) и такую, что для любого «6=0
Р{?(0. со)?=g(e, со)} = 0.
222 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. IV
Лемма 2. Пусть В — произвольное борелевское множество в X. Существует конечная или счетная последовательность точек 01,02, ... такая, что множество N(Q, В) = {со: ^(0а, со)е В, k = 1,2, ..., g(Q, а)ф В} имеет вероятность 0 при любом 6е0.
Доказательство. Пусть 01 — любое. Если 0Ь 02, 0&
построены, то полагаем
mk = sup Р {g (еь со) е= В, g (0Ь со) е 5; g (0, со) ф В).
бее
Последовательность nth монотонно убывает. Если = 0, то соответствующая последовательность построена. Если mu > 0, то пусть 0/;+1 — такая точка, что
Р {ё (0ь “) eft • • g(0*. g(0ft+Ь И) Ф В
Так как множества
