Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Функция Я (0ь 02), заданная на 0 и удовлетворяющая свойству 4), называется положительно определенным ядром на 0.
Если даны две случайные функции ?i (0) и ?2(6), принадлежащие 5^2(0), то для характеристики степени линейной связи между ними вводят взаимную корреляционную функцию.
Определение. Взаимной корреляционной функцией случайных функций ?i(0) и ?2(0) (ей7^©)) называется функция
(01, 02) = М К, (0,) - M?i (0,)] [?2 (02) - М?2 (02)].
Пусть задана последовательность комплекснозначных случайных функций
?i(0),S2(0), .... Сг(0) 5/(0)е2-2(0), i=\,2,...,r.
Условимся рассматривать ее как одну г-мерную комплексную случайную функцию
?(0) = {?.(0).Ь(0), •••. Сг(0)}, 0^0.
Если | и -л — два вектора
l = (li> &2 • • •. Ir),
Л = (Ль Лг, • • •> Лг).
то будем обозначать через |ri* матрицу
СШ блЛа ••• liЛг \
....г.
1гЛ2 ••• 1 гЦг'
Положим
т(0) = М?(0) = {ММ0), М52(0), ..., Mgr(0)}, Л (©и e2) = (tfi/(0b 02))i,/=i, ...)Л== = М (К (0i) - m (0,)] К (02) - пг (02)Г) -
: (М (0,) - ntt (0^1 [Sy (0а) - //iy 402)j»f< h
•i,
20
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
[ГЛ. I
Функция /п(0) является r-мерной комплекснозначной векторной функцией. Она носит название среднего значения векторной случайной функции Ц0). Матрица /?(0ь 62) называется корреляционной матрицей ?(0).
Свойствам 1) — 4) корреляционных функций соответствуют следующие свойства корреляционной матрицы случайной функции:
1) R{Q, 0) является неотрицательно определенной матрицей
где знак * обозначает переход к комплексно сопряженной матрице;
4) для любых п, 0], ..., 6П и последовательности комплексных векторов АI, А2, ..., А„
Последнее условие эквивалентно следующему:
4') для произвольной последовательности матриц Ль . .. , Лп матрица
неотрицательно определенная.
Свойства 1) и 2) очевидны. Для доказательства свойства 3) воспользуемся неравенством Коши — Буняковского для математического ожидания:
Чтобы доказать свойство 4), положим Ah = (ам.................а&г).
Тогда
Понятия непрерывности, измеримости и другие понятия анализа непосредственно к случайным функциям в широком смысле неприменимы. В принципе возможно для этих понятий найти
Г Г
2)
? Rik(B,Q)ktkk = M ?л,?у(0) >0-,
i ,к=\ /=1
R(QuQ2y^R(Q2, 00,
(И)
(15)
3) !/?,fc(0I,%)P</?y/(01,e1)/?w(02, 02), /,*= 1.........г; (16)
п
I (R(Qh Qk)Ak, A,)^Q. I,k-i
(17)
П
IКI, Фи ад P = I M its, (6.) - m, (в,)) (с, (ад - m, (e,))I f <
<Rn(Bu 0,)Я**(02, 02).
П nr
= м E ? (Sp (0y) - mp (0/)) alp > 0. /=i p-=i
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
21
эквиваленты, выражаемые через конечномерные распределения случайной функции. В настоящее время более распространен иной подход к построению анализа случайных функций, принятый и в настоящей книге (гл. IV). Упомянем здесь об одном понятии, выражаемом через распределения пар S(0i), Е(0г)-Пусть |(0)—векторная функция со значениями в 31й, 0 — метрическое пространство с метрикой г(0ь 02).
Определение. Случайная функция |(0), 0Е0, называется стохастически непрерывной в точке 0О, если Ve > О
Р {II (0о) —1(0) I > е} —> 0 при г (0„, 0)->О.
Если |(0) стохастически непрерывна в каждой точке некоторого множества Вс0, то ее называют стохастически непрерывной на В.
Если случайная функция стохастически непрерывна на некотором множестве, то это вовсе не означает, что ее реализации непрерывны на В. В этом легко убедиться на простых примерах (см. § 3).
Определение. Если при N -> оо
supP(|?(0)|>JV}->O,
е еВ
то случайную функцию ?(0) называют стохастически ограниченной на В.
Теорема 1. Если 0 — компакт, случайная функция |(0) стохастически непрерывна на 0, то |(0) стохастически ограничена на 0.
Доказательство. Пусть е — произвольно малое положительное число. Для каждой точки 6е9 построим сферу Sq с центром в точке 0 такую, что
Р{1Е(0)-Е(ОО1> 1}<| Ve'«=Se.
Из множества всех сфер Sq выберем конечное покрытие50 ,
..., SQ множества 0. Пусть а — наибольший радиус сфер S0j, ...] Sbn- Тогда
U (0) КI ? (0) - 1 (0/) I + тгх 11 (0,) |,
где 0/ — центр сферы Se , в которую попадает точка 0. Таким образом, при N > 2
PdKej^^XPflK^-Ko^^^J + PjmaxiKe/)^^}^
<f + p{ max |&(0,)|>-П.
1 - j
22 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. I
Величина тах|?(0;)| с вероятностью 1 конечна. Поэтому при N
