Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
оо
дует [J Ап е 31,
то 31 содержит a{2>i}.
Доказательство. Обозначим 31, минимальный класс событий, содержащий SDi и обладающий свойствами а) и б) (21] есть пересечение всех классов, содержащих Ш и обладающих свойствами а) и б)). Покажем, что 31, = a {3W}. Пусть 91] (В) обозначает класс всех событий А из 21ь для которых АП^еЗ^. Легко проверить, что 31, (В) обладает свойствами а) и б). Далее, если Be Ш, то 31] (В) =э 2Я, так как Ш — я-класс. Поэтому 31] (В) = 31[ (если Be ЗИ). Но это означает, что 31](л)=)3й для любого Ае31], т. е. 21] (А) = 31] теперь уже для любого Ае31]. Таким образом, 91] является я-классом. Но я-класс событий, одновременно обладающий свойствами а) и б), очевидно является а-алгеброй. Итак, 2(] = 0{ЗЙ} и 21 =) 0 {3W}. КЗ
Теорема 3. Пусть ie/}—множество независимых п-классов событий, 1 — I\ U /2 (Л П h = 0), 93ft = <т{9йг-, i е Ik), k = \, 2. Тогда S3] и 332 независимы.
В силу теоремы 1 можно ограничиться предположением, что ¦ЭД* — 0-алгебры. Рассмотрим классы (6=1, 2), состоящие из всевозможных событий вида А^П^Г) ••• П А. , п — любое, ir е /ft. Они замкнуты относительно пересечений, 2lft содержит все ЗЭТг, / е /й, и 21] и 212 независимы. В силу теоремы 2 0{21]} = = 0{$Й,-, i е /]} и 0{Э12}= сг{ЗЭТг, i е /г} независимы. Н
Следствие. .Если / разбить на произвольную совокупность подмножеств, / = (J ]k попарно без общих точек, то
feep
о-алгебры 93ft = 0 {Ш1г, i е Ih}, 4eQ, независимы в совокупности.
Независимые случайные элементы. Пусть ?,• = /г(со) —слу-чайный элемент в 33*}, I е /.
Определение. Случайные элементы {?г-, i е /} называются независимыми (независимыми в совокупности), если для любого п и произвольных Bk е 23lfe г* е /,
Более общим является определение независимости семейства множеств случайных элементов. Рассмотрим некоторое семейство множеств^, г'е/^}, цеуИ, случайных элементов со значениями в 23^}.
НЕЗАВИСИМОСТЬ
127
Определение. Множества случайных элементов {^, i е е/ц] (ц, е М) называются независимыми (взаимно независимыми), если независимы классы событий {ЗЭТц.ц е М), где 2ЙМ состоит из всевозможных событий вида
Д{«.=ву.»-1.2.............».«/„
Пусть cr{^, обозначает сг-алгебру, порожденную
множеством случайных элементов Щ, ге/и, т. е. минимальную о-алгебру, относительно которой измеримы все случайные величины Q, i ц фиксировано.
Теорема 4. Множества случайных элементов i е / } (ц е М) независимы тогда и только тогда, когда независимы
о-алгебры gM, ц е М.
Доказательство вытекает из замечания, что классы событий, введенные в определении независимости множеств случайных элементов, являются я-классами, и из теоремы 1.
Следствие. Пусть цеМ, — множество не-
зависимых последовательностей случайных элементов, g^(xv ... ..., — а{®*> k—l, ..., s^-измеримые функции (jieM).
Тогда случайные величины
взаимно независимы.
Замечание. Случайные величины {|ц, fieM} взаимно независимы тогда и только тогда, когда для любого п, любых jLii, \Х2, ..., из М и любых действительных аи ..., ап
П
Р {К <аи ?и„ < ап] = П Р {gnft < ak).
Необходимость тривиальна, а достаточность вытекает из того, что а-алгебра, порождаемая событиями вида {|д < о}, совпадает с а-алгеброй е В, Be S31}, S31—а-алгебра борелевских множеств на прямой.
Пусть k = 1, 2, ..., п, — последовательность независимых случайных элементов (на {Xh, 23а} соответственно), <7/.— распределение ^ на ЗЗ^, qiu п) — совместное распределение последовательности (?ь ...,?„) в Xk, a {23ft, k — l, n}j<
128 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ. II
Из определения независимости следует, что
... ХВ„)=П Чк(Вк), 3,. (1)
Очевидно и обратное: если выполняется (1) для всех Bh е то величины {?ft, k = 1, . . . , ti) независимы.
Пусть g(x;, х2) — i = 1, 2}-измеримая функция, ?i и ?2— независимые случайные элементы и Mg(?i, ?2) < 00. Из правила замены переменной и теоремы Фубини тогда следует, что Mg(*i, ?2) является Si-измеримой функцией, конечной для <7)-почти всех Х\, и
Мg (Ei, ?2) = \ <7i (dxt) J g (хи х2) q2 (dx2). (2)
X, Хг
В качестве следствия отсюда вытекает формула
Mg(S,)g(6!) = Mg(S1)Mg(6!)> (3)
справедливая, если Mg(?fc) конечны.
Следующее предложение можно рассматривать как усиление предыдущего.
Теорема 5. Если случайная величина ? с конечными математическими ожиданиями и а-алгебра g независимы, то
м<ш} = М?.
Доказательство, Независимость случайной величины ? от ст-алгебры % означает, что независимы ст-алгебры g и = сг{?}. Поэтому для любого f eg случайные величины ? и %(F) независимы. Следовательно,
?dP = Mx(f)M?= J(M?)dP.
F F
