Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
М(л1) = спШ% (Еп) = сп Р (Еп) = J 6 ^Р,
Еп
т. е. | совпадает с правой частью формулы (3).
Воспользуемся равенством (4) для определения условного математического ожидания в общем случае. Если в (4) положить л = х(^)> т0 оно примет вид
5 м (IIS}rfP= Jirfp. (5)
F F
Определение. Условным математическим ожиданием МШ} случайной величины % (М? существует) относительно
116
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. И
о-алгебры ft называется ft-измеримая случайная величина, удовлетворяющая равенству (5) для каждого Feg.
Теорема 1. Условное 'математическое ожидание произвольной случайной величины (Mg определено) существует и (mod Р) единственно.
Доказательство. Правая часть формулы (5) является а-ко-нечным зарядом ф(F) на ft, абсолютно непрерывным относительно меры Р. В силу теоремы Радона — Никодима существует ft-измеримая функция g(u) такая, что
ф(Л= g{u)P(du).
Р
Остается положить M{g|ft}=g(«). Покажем единственность (mod Р) условного математического ожидания. Если существуют две случайные величины §, и |2, удовлетворяющие определению условного математического ожидания, то для любого
fe§ ^ (|j — |2) <iP = 0, что в силу ft-измеримости величины
F
— |2 возможно тогда, когда g( —g2 (mod Р). Щ
Определение. Условной вероятностью события А относительно о-алгебры ft называют случайную величину
Р {А 13} = М {х (Л) | $}.
Прямое определение Р{Л|5} можно сформулировать так:
Условная вероятность PH|ft} есть ft-измеримая случайная величина, удовлетворяющая для каждого /•’eft равенству
$РМ13}<*Р = Р(ЛПЛ- (6)
F
Из теоремы 1 следует, что Р {Л | ft} существует и при каждом А (Лей) определяется (mod Р) единственным образом.
Очевидно, что для любой ft-измеримой случайной величины выполняется равенство (4), если только величина г]| интегрируема. Соотношению (4) можно придать следующую важную интерпретацию. Предположим, что Mg2 < оо. Будем рассматривать случайные величины как векторы в гильбертовом пространстве 3>2(?1, Р)- Положим для краткости ? = M{g|ft},
и пусть Н обозначает подпространство 2?i(Q,, ft, Р) всех ft-измеримых случайных величин с конечным моментом второго порядка. Н является линейным замкнутым подпространством Si(Q, ©, Р), I еЯ, и для любого г|efl Mr](f — g) = 0. Это равенство означает, что вектор | — g ортогонален подпространству Н, т. е. что | является проекцией вектора | на Н. Итак,
J 3] УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ \\f
если Mi2 < 00» то условное математическое ожидание М{||5} является проекцией | на подпространство всех g-измеримых случайных величин с конечным моментом второго порядка.
Приведем ряд свойств условных математических ожиданий. Условимся, что все рассматриваемые ниже случайные величины имеют конечное или бесконечное математическое ожидание, а все написанные равенства понимаются как равенства с вероятностью 1.
а) Если случайная величина | 5J-измерима, то
М{Ш} = &.
Действительно, условие (5) выполняется тривиально, если положить М {g 15?} = I. В частности, если Л е 5, то
Р{Л|3} = х(Л). (7)
б) Если ?ь ?2 принимают значения одного знака или имеют конечное математическое ожидание, то
м + ш) = м а, | з} + м {ыз}-
Положим 1г = М{?(|3}- Для любого f eg
5 (ii + la) rfP = \iidP+ $i2dP =
\hdP+ J&dP^ \(h+h)dP.
Учитывая единственность (mod P) условного математического ожидания, получим требуемое.
Следствие. Если А П В = 0, то
Р{ЛиВ|3} = Р{Л|3} + Р{Я|3}(тос1 Р).
в) Если I л, т0
М{Ш}<М{л18}.
когда хотя бы одна из сторон неравенства имеет смысл.
Если г\^)0, то ^ М {л 13}^Р^0 для любого f eg. Следо-
р
вательно, М{л|8}^0. В общем случае, положив л = I + ,+ (Л — ?) и воспользовавшись б), получим
М{л13} = М{Ш} + М{л-Ш)>М{Ш}.
г) Если п — 1, 2, ..., — монотонно неубывающая последовательность неотрицательных случайных величин, то
lim М {? J $} = М {lim ?
118
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. II
Действительно, в силу теоремы об интегрировании монотонных последовательностей
t limM{?fe|g}dP = lim $ М {?„ |§} dP < lim ^nc/P = jjlim?„dP.
F F F F
Следствие. Если An, n = 1, 2, ..., попарно несовместимы, то
f со N oo
P{U^lg) = ZP{^l8}. (8)
Важное замечание. Условные вероятности Р{А |§} = Рд{Л, со} являются функциями двух аргументов — А и со (Леб, соей). Равенство (8) имеет место только с вероятностью 1, причем исключительное множество N тех со, для которых (8) не выполнено, зависит от последовательности Ап. Поэтому, вообще говоря, нельзя утверждать, что Pg(A, со) для каких-либо со является мерой.
