Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
56
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
[ГЛ. I
и в этот же момент времени покидающей это состояние, оказаться в результате скачка во множестве В. Эта интерпретация функции П (t, х, В) будет доказана в дальнейшем (см. § 1 гл. VII).
Соотношение (20) можно переписать в виде
где r(s, х, t, В)—некоторая функция, равномерно по (s, х, В), s е [0, f], стремящаяся к 0 при 11 s.
Из последнего соотношения, в частности, следует, что для любого и е /
где К\—некоторая постоянная, не зависящая от (s, х, t, 5)е
Перейдем к выводу уравнений Колмогорова для скачкообразных процессов. Начнем с вывода второго уравнения.
Пусть s фиксировано, t > s, т — произвольная вероятностная мера на 0 иmt(B) — T*sm{B), где Т*и — оператор, введенный ранее. Если t2 > t\ > s, то
Р(s, х, t, В) — (1 — a(s, *))(t — s)%{B, x) +
+ (a(s, x, B) + r(s, x, t, B))(t — s), (21)
| P (s, x, t, B) — x {B, x)\^Ki(t — s),
(22)
e= [0, «] X X X [0, и] X S.
tnt, {В) — mtx {В) = jj tntl (dx) [P (tu x, t2, B) — % (В, *)],
x
откуда, в силу неравенства (22),
sup | mh (В) — mtl {В) | < /С, (t2 — /,).
в
Далее, из (21) следует, что
mti (В)—mti (В) = {h—ti) ^ [a (tu х, В) + г (tly х, t2, ?)] mti {dx). (23)
х
Пусть теперь t2 tx f t. Тогда
sup
<*• B)
+ sup \ [a {tu x, B) — a {t, x, B)\ mt, {dx) + <*, b\ J
a {t, x, B) mt {dx) < sup j r (ft, x, t2, B) | +
(x, B)
+ sup \a{t, x, B)[mty{dx) —mt{dx)] <
(* ,B) j
< Ci + e2 + К sup | mtl {B) — mt {B) |,
В
j 4] МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 67
где
в] = sup | г (/ь х, t2, В) | -> 0 при tiU, t2U>
(х, в)
е2 = sup|d(/u х, В) — a(i, х, ?)|->0 при t\\t.
(х, В)
Цз (23) вытекает также, что sup | ти (В) — mt (В) | -> 0 при U\t.
в
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2. Функции T*tsm(B) аргумента i в случае регулярного скачкообразного процесса при t>s дифференцируемы, и
dTtsm ,v*
^ AsTtsm, (24)
где
A*sm(B) = ^a(t, у, В) m(dy) — ¦—$а(/, у) m(dy) + ^a(t,y, В) tn(dy). х в х
Формулу (24) можно записать еще следующим образом-.
dmi (В)
dt
— \a(t, y)mt (dy) + ^a(*, у, B)mt{dy). (25)
Положив m(B) = %(B, x), получим mt(B) = P(s, x, t, В), и из теоремы 2 вытекает следующее
Следствие. Вероятности перехода P(s, х, t, В) регулярного скачкообразного процесса дифференцируемы по t при t > > s, и
dP (s, х, t, В) _
dt ~~
— — § а (/, у) Р (s, х, t, dy) + ^ а (t, у, В) Р (5, t, dy). (26)
В X
Из соотношения (20) вытекает следующее начальное условие для дифференциальных уравнений (25) и (26):
limmt(B) = m(B), limP(s, х, t, В) — %(В, х). (27)
t^S t^S
Если уравнение (26) при соответствующем начальном условии имеет единственное решение, то, решая это уравнение, найдем вероятности перехода рассматриваемого процесса.
Перейдем к выводу первого уравнения Колмогорова. Пусть
i фиксиров ано, f (х) е S3 (§3), || f || = sup | f (х) | и
X
f«{x) = Tstf(x)=\f(y)P{s, х, t, dy), s <i.
58
случайные процессы в широком смысле
1ГЛ. I
Положим s{ < s < s2 < t. Тогда
/*, (*) - (*) = \ Us, w - fs, (у)] P (Sl- s2, dy) =
= (S2 - Sj) \ [fS2 (x) - fSt Щ (a (s,, x, dy) + r (s,, x, s2, dy)). Из этого соотношения следует, что
sup j fSt (x) — fSi (x) | < 21! f || (s2 — s,) \[K + 2 sup | r (Sj, x, s2, B) | ]. Далее, учитывая, что a (s, x, X) = 0, получим неравенство
II
S2 — Si
<
+
+ \fs (У) a {s, X, dy)
J [fg (У) — fSl («/)] a (s, x, dy)
5 fSl (У) [a (s. x, dy) — a (su x, dy)}
+
+
+15 [fs, M “ fs, (tf)] r (S1 > x> s2> dy) I • (28)
Правая часть неравенства в силу (28) не превосходит
2II f II (s2 — s) [/С + 2 sup | г (sj, x, s2, B) |] +
(x, В)
+ Ilf II2 sup | a(s, x, B) — a{sh x, B) | + 21| f || • 2 sup | r (s5> x, s2, fi) |.
(x, В) (X, B)
Из предположения регулярности скачкообразного процесса сле« дует, что полученное выражение стремится к 0 при Si f s; s2j s. Тем самым доказана
Теорема 3. Для регулярного скачкообразного в широком смысле процесса функция fs (х) = Tstf (х), s < t, дифференцируема по s (равномерно по х), удовлетворяет уравнению
= — \fs (у) a (S, X, dy) =
= a (s, х) [fs (х)-$f. (у) П (s, х, rff/)J , s < t, (29)
