Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
х
Соотношение (2) называют уравнением Колмогорова — Чепмена. Его можно положить в основу определения процесса без последействия или, как говорят чаще, марковского процесса.
Пусть {X, 0} — некоторое измеримое пространство. Функцию Р(х, В), В е S3, удовлетворяющую условиям:
а) Р(д:, В) при фиксированном х является мерой на S3 и Р(х, Х)= 1,
б) при фиксированном В Р (х, В) является Э-измеримой функцией от х,
будем называть стохастическим ядром.
Эта же терминология будет применяться и в несколько более общем случае, когда аргумент х функции Р (х, В) принимает значения из некоторого измеримого пространства {Х0, S30}, отличного от {Аг, 0}.
Пусть I — некоторый конечный или бесконечный полуинтервал (отрезок). Семейство стохастических ядер {ps((лг, В) = -= P(s, х, t, В), s<.t, (s,/ X /}, удовлетворяющих
44
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
[ГЛ. I
уравнению Колмогорова — Чепмена (2), будем называть марковским семейством стохастических ядер.
Определение. Марковским процессом в широком смысле называется совокупность следующих объектов:
а) измеримого пространства {X, S3},
б) полуинтервала I (отрезка) действительной оси,
в) марковского семейства стохастических ядер
{Psl( (х, В), s < t, (s, t)<=/X I).
Семейство ядер Pst(x, В)= P(s, х, t, В) называют вероятностью перехода марковского процесса, пространство {X, S3} — фазовым пространством системы, точки множества / интерпретируются как моменты времени, а величина Pst(x, В) =
— P(s, х, t, В)—как условная вероятность того, что система в момент времени t окажется во множестве В, если в момент времени s она находилась в точке х фазового пространства (s < t).
В дальнейшем будем считать, что ядро Pst(x, В) определено и при s = t. А именно естественно положить, что
Рн(х, В) = %(В, х),
где %(В, х) обозначает индикатор множества В: %(В, х) = 1, если хей и х(В, х) = 0 при хё=В.
Очевидно, что при таком определении ядра Ptt(x, В) уравнение (2), в котором положено и = s или и = t, выполняется.
Операторы, порождаемые вероятностями перехода. С вероятностями перехода можно связать два семейства операторов.
Обозначим через Л = -#(S3) множество всех конечных мер на S3 и положим mts = Ttsm, где
mts(B)=^P (s, у, t, B)m(dy), s^t, B<=%. (3)
Если мера m(-)—распределение системы в момент времени s, m(B)= Р е й}, то формула (3) является «формулой полной вероятности», a mis(-) — распределение системы в момент времени t, mts(B)= Р fc е В}. Таким образом, оператор TU выражает распределение рассматриваемой системы в ее фазовом пространстве в момент времени t через распределение в момент времени s, s < t.
Очевидно, что Ти является оператором, отображающим Ж в Ж. Из формулы Колмогорова — Чепмена вытекает простой закон композиции операторов T\s.
Пусть s < и < t. Воспользовавшись уравнением (2) и возможностью изменения порядка интегрирования в кратных
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
45
интегралах, получим равенства
mts(E) — \т (dx) $ Р Р (s> *> и> аУ) —
X X
Р (s, х, и, dy) т (dx)'j Р {и, у, t, В) = ^ mus (dy) Р {и, у, t, В). ) х
Таким образом,
П5 = ПЛ (s <«<*)• (4)
Следовательно, семейство операторов TU как функция от интервала [5, /], является определенным образом направленной мультипликативной функцией интервала. При этом под направленностью мультипликативной функции интервала следует понимать один из двух возможных порядков расположения сомножителей, отвечающих данному разбиению интервала на части.
Второе семейство операторов, которое сейчас будет введено, действует в пространстве всех ограниченных Э-измеримых функций. Обозначим его через ^(S), а совокупность всех неотрицательных функций этого пространства — через J?(S9)+. Положим {st — Tstf, если
fst (х) = ^ / (У) р (s> аУ)-
Функция fst(x) имеет, очевидно, следующий теоретико-вероятностный смысл. Она равна математическому ожиданию случайной величины f(xt) при гипотезе, что в момент времени s (s <i t) система была в состоянии х (xs = х). Из ^-измеримости вероятности перехода по х вытекает 93-измеримостъ функции fst(x). Далее, введем в &(%) норму II / II = sup] их) I. Очевидно,
II fst IK II f II.
Таким образом, операторы Tst преобразуют ^(9) и ^(Э) + в себя. Воспользовавшись формулой Колмогорова — Чепмена и перестановкой порядка интегрирования, получим при s < .< и < t
fsi(x) = ^f(y)P (s, X, t, y) = ^f (y) 5 p (s, X, u, dz) P (u, z, t, dy) =
= \ fut (z)p (s> И, dz),
или
Tst = TsuTut (s<u<t). (5)
Таким образом, операторы Tst также образуют операторную Мультипликативную (некоммутативную) функцию интервала, но
40
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
