Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
tl-^oo
Остается заметить, что
»2
ДА , ,
M exp {ftnt[a> (*»,*+1) — ш(^)]}=е 2 nk. Ш
Замечание. Из доказанной леммы вытекает, что для всякой непрерывной функции двух переменных a(t, х) равномерно по х в каждом конечном интервале
М | ехр (a Y а ttnk, х) со„Л | ->
I v /I >
—> М | ехр i% ^ а (t, х) (/) |,
если только 1п таково, что tni ^t'.
Действительно, точно так же, как при доказательстве леммы 1, убеждаемся, что
М j ехр fiK Y а ttnk, х) a>nk 1 ЙгЛ \ —
ехр | — Ц- Y °2 Uni* х) Atnk )
равномерно относительно х в каждом конечном интервале ввиду ограниченности a(t,x) на конечном интервале изменения х. Остается заметить, что
i"
X d{tnk, x)Atnk~* 5 a2(t, x) dt
равномерно относительно x в каждом конечном интервале, поскольку a{t, х) будет равномерно непрерывной по совокупности переменных в каждом конечном интервале изменения х.
532 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ГГЛ. IX
Лемма 2. Если последовательность измеримых функций (fn{xu ..., xm) ограничена одной постоянной и на каждом компакте равномерно сходится к непрерывной функции <po(*i, ..., хт), а последовательность функций распределения Fn(xxm) слабо сходится к функции Fo{xь хт), то
lim (ф„(хь xm)dFn(xu xm) —
П-* оо J
== ^Ф°(JCi, •••, xm)dF0(xu ..., xm).
Доказательство. Так как ввиду слабой сходимости функций %m) К F0(XU Xm)
lim \ Фо (-^i, •••, xm)dFn{ xh ..., xm) =
oo J
= 5 фо (*i. • • •, xm) dF0 {xu ..., xm), то для доказательства достаточно показать, что
Пт \|фп(*!.......хт) — Фо(лг1, xm)\dFn{xl.хт) = 0.
П-± оо J
Но, каково бы ни было К > О,
^ I Фо — Ф«1^< 5 I Фо — Ф J dFn + ^ |ф0 — <i>n\dFn;
Е|*Н<« Eki>«
i i
первый интеграл стремится к нулю при п—> оо, так как |фо — фп| стремится равномерно к нулю при второй
интеграл можно сделать сколь угодно малым для всех п выбором достаточно большого К ввиду ограничённости |фо — фп| и слабой сходимости последовательности распределений Fn. Ш Лемма 3. Пусть 1[п), ..., |<?>, п = 0, 1, — m последова-
тельностей случайных величин и функции Ф^ (К, хь xk~j) таковы, что с вероятностью 1
ф(;> (А.) = Ме‘Ф[п) (Я, lf\ =
Если для всех k функции Ф(^(Х, непрерывны и
фап) xi> • • • > xk-i) пРи п-+оо сходится к Ф^0) (Я, хг ..., **_,), k = \, 2, ..m, равномерно на каждом компакте, то совместное распределение величин 1[п\ ..., слабо сходится к совместному распределению величин ?<0), ...,
СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
533
Доказательство. Беря А=1, убеждаемся, что распределение величины сходится к распределению величины |<°>. Предположим, что совместное распределение величин ?<">........................................gM,
сходится к совместному распределению F^_, величин ?<0),
Тогда
Mexpjt | =
~ S ехр 11 Ё ^lxl 1 ФаП) (^4* •••> xk-i)dF(kU(xx> •••> xk-)~*
{ /_i J
-> J ехр [ i ? V/} Фа0) (Ч. *1. • • •. Ч-д dFf-i {xv • • • > **-i) =
^ l=i >
= M exp + ЗД°> + ... +/ЯД°)}
на основании леммы 2. Значит, совместное распределение величин |*п), ..., ^п) также будет сходиться к совместному распределению величин gj0), ..., IfK Применяя индукцию по k, полу-
чаем доказательство леммы. ¦
Возвратимся к доказательству теоремы. Выберем произвольное разбиение отрезка [0, 1]: 0 = т0 < ti < ... < xN = 1. Положим
= 6 ЬпО’
ЧвЫ'
_ аЦпг><('к-д)Ыпг +
Tft-l ^{пг<хк
+ Z o(tnr, Ь = \, .... N,
Tk-\^tnr<xk
(то) ~ So>
xk
т1оЫ = т1о(тй-1)+ S а0* <(xk-d)ds +
Ч-\
Ч
+ S <*(*, ЛЦ (**_,))*»(«), /2 = 1
xk-l
Очевидно,
М (еЛт1о (tft) | т]* (т0), ..., if0 (т*_,)) = (Я, ц0(т4_,)),
534 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
где
ф(0)
к
