Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
in(t)*=Snk+ [-*¦« ¦-[S„ft+1 —
?n k+l lnk
при t &[tnh, tnk-h], Sn0 = 0, tn® = 0. |n(t) является случайной ломаной, соединяющей точки плоскости (/, |), имеющие координаты (tnk, S
nk)» k — 0, 1, ... у hn.
В этом параграфе изучаются условия, при которых конечномерные распределения процессов ?п(0 и распределения функционалов от этих процессов сходятся к конечномерным распределениям и распределениям соответствующих функционалов процесса броуновского движения w(t).
Теорема 1. Пусть случайные величины ?ni удовлетворяют условиям 1) и 2) и условию Линдеберга: если Fni(x)— функция распределения величины то для всякого е
kn
lim У f и2 dFni (u) = 0. (1)
л">°° i-i |и| >e
Тогда конечномерные распределения процессов |п(0 сходятся к конечномерным распределениям процесса w (t) и распределение f(ln(t)) сходится к распределению f(w(t)) для всякого непрерывного на ‘ё'ю, и функционала f.
Доказательство. Сходимость конечномерных распределений процессов ?п(0 к конечномерным распределениям процесса w(t) есть следствие многомерной центральной предельной теоремы.
Для доказательства сходимости распределений /(?п(0) к распределениям f(w(t)) для всех непрерывных на ‘ё’ю, п функционалов / проверим, что при произвольном е > 0 выполняется
условие __________
lim lim Pf sup \ln{t') — ln(t")\> е} = 0,
A-»0 n->oo I
526
Предельные теоремы для случайных процессов [гл. ix
и воспользуемся замечанием 1 § 2. Так как sup ln{t") К2sup sup ||„(0 — tn(kh)\<
<4 sup sup \ln{t) — ln{kh)\,
k kh<t<(k+\)h
TO
( sup 11„ (t') — !„ {t") | > e X
Заметим, что
< Z P( sup ||„(0 ~ln(kh) | > e/41.
kh< 1 J
sup ||„(0 — ln(^A)|<2 sup
kh<t<(k+l)h. lnk<r<U,k +l
in?
l~lnk
где jnk — максимальный из индексов j, для которых tn! не превосходит kh. Так как при /„& ^ /„, ь+х
П]
>
DI
64/г п}-+~%г-.
то в силу леммы 3 § 5 гл. VI при достаточно малых h lim Р ( sup ||„(0 —|„(?Л)|>е/4|<
га->оо t kh< J
< 7ТЖ И р{Н» (<»,„. №) “ 5» ('* JI > '/*} ¦
Из доказанной сходимости конечномерных распределений |п(0 к конечномерным распределениям до(?) вытекает, что
® р{1ЧЧ.Л-ЧЧ-)1>^-тЁг,5 e-'№iu-
I u 1 > е/8
Следовательно,
§ 4]
СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
527
Так как
h
\ e~2du^ \
и2е 2 du-> О
то отсюда вытекает (2). 9
Следствие. Пусть ?i, ?2, • • • , In, • ¦ . — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, для которых Mg; = 0, Dg? = 1.
Обозначим через \n(t) случайную ломаную с вершинами
ционала /, определенного и непрерывного на W[q, п почти всюду по мере \iw, распределение /(?п(0) будет сходиться к распределению f(w(t)).
§ 4. Сходимость последовательности цепей Маркова к диффузионному процессу
Рассмотрим последовательность серий случайных величин 1по, ?пь lnkn, связанных в каждой серии в цепь Маркова. Обозначим через рпь(х, А) вероятности перехода
Пусть, далее, 0 = tn0 < tni < .. . < tnhn = 1 — некоторая последовательность разбиений отрезка [0, 1]. Построим случайную ломаную ?п(0 с вершинами в точках (tnh, ?па)- В этом параграфе будут изучаться условия сходимости конечномерных распределений ?„(/) и распределений функционалов от ?п(0 к соответствующим распределениям марковского процесса ?(0. являющегося решением стохастического уравнения типа, рассмотренного в гл. VIII.
Положим
Теорема 1. Пусть \(t) является решением стохастического уравнения
где Sft = ii + . .. + Ik- Тогда для любого функ-
Pnk (Ink, А) = Р {?„, *+, е= Л | lnk} (mod Р).
Ьп (*„*. Х) = < (tnk’ Х) = \(У - Х? Рак (Х> аУ) - КА (*пк> ХУ
? (t) = ?о + \ a (s, I (s)) ds + J a (s, g (s)) dw (s),
0
0
528 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ для СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
где ?о не зависит от w(t), a a(s, х) и a(s, х)—непрерывные по совокупности переменных функции, удовлетворяющие условию Липшица по х: |a(s, x) — a(s, г/) |-{-|a(s, х) — o(s, у) |<
«g: К\х — у\. Для того чтобы конечномерные распределения процессов ln(t) сходились к конечномерным распределениям процесса l(t), достаточно, чтобы выполнялись следующие условия-.
1) lim шахД^„й = 0;
П-> оо k
kn
2) lim Z М (| ап (tnk, \nk) — a (tnk, \nk) |2 +
rt->oo
+ I on (^nk, Ink) — on (tnk, %nk) |2) Atnk = 0;
3) при некотором б > 0
