Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 1. Если г0 — минимальный положительный корень уравнения 1 —ф(г) = 0, то hz0 = 2я, где h — шаг решетки блуждания.
§ 1] СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ 3J5,
Доказательство. Обозначим pft = р {|i = k}, k — О, ±1, '±2, ... Тогда
0=1 — tp(z0) = J]p*(l — eik*°) =
kzQ
= Yj Pk (1 — cos kz0) = Y Pk2 sin2
kZ(\
Пусть N' =={k: ph> 0}. Тогда при k^N' число — целое.
h 2
Если h — наибольший общий делитель чисел из N\ то — также целое число, поскольку h представимо в виде h = mlkl+ ... +mnkn,
где trii — целые числа, ki^N'. Значит,
С другой стороны,
(р(^-)= Y Y р*=1>
АеЛГ k^N’
^ 2Я поскольку — целое число при k^N'. Поэтому ----------------------поло-
2 я
жительный корень уравнения 1—tp(z) = 0. Значит, ¦
Следствие. Если блуждание нерешетчатое, то существует¦ такое а > 0, что
Re(1 — tp(z))^ctz2, ге[- л, я].
Пусть pi-5^=0. Тогда
2 \2 / lz \2
Re (1 — ф (z)) ^ 2pz sin2 -у- ^ 2рг (т-)2'
I 1г
если
<*2 • А при -<|z|<n функция Re(fT_-^(gj) непрерывна (в силу леммы 1 знаменатель не обращается в нуль) значит, ограничена.
Легко видеть, что достаточно изучать нерешетчатые блуждания, так как таким будет последовательность
/г = 0, 1, ...j, где h — шаг решетки блуждания. Поэтому в дальнейшем блуждание будет предполагаться нерешетчатым.
Введем случайную величину v* (х— целое число)—момент первого попадания случайного блуждания в точку х:
\х = inf [п >0: ?„ = х]
¦316 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
{если ?,пфх Уп, считаем v*= + co). Блуждание называется возвратным, если P{vo < + 00} = 1. Исследуем условия возвратности случайного блуждания. Для этого нам понадобится преобразование Лапласа величины v*.
Лемма 2. При | К | < 1
мал* = Е я-‘р {V, = k} = ( Е ГР {?„=х}) ( Е ГР = 0})
ft—1 \n —1 / \п=0 /
(Г°° считаем равным 0).
Доказательство. Имеем
P{?n = *} = P{?n = *. v*<n} =
= Е Р{?* = х, vx = fe}=ip{?„-?j = 0, v* = k).
/2 — 1 k=* 1
Очевидно, что — ?* не зависит от события {v* — k). Поэтому
Р = Е Р k) Р {Sn-S*=0}=E Р {vx = k} Р = ft-i ft=i
Умножая это равенство на %п и суммируя по п, получим
ОО ОО оо
Е ГР =дг} = Е ГР {V, = k) • Е ГР {?„ = 0}. ¦
n = { &= 1 «“О
Следствие. Для возвратности блуждания необходимо и достаточно, чтобы
Е Р{?„ = 0} = + °о.
Действительно,
оо
Р {v0 < + °о} = lim У Гр {v0 = k] = fc+I *Ti
= 1 — lim—-------?------= 1----------J-----.
X+1 E*np^ = o} Ерк» = °}
n=0 n=0
Сформулируем условие возвратности случайного блуждания через характеристическую функцию одного шага.
Теорема 1. Для того чтобы нерешетчатое случайное блуждание было возвратным, необходимо и достаточно, чтобы
Я
\ ReT=JWdz = + °°- . w
3 1] СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ 3j7
Доказательство. Достаточность. Имеем
оо 00 a i? 00
?rP{U = 0} = Xl”i J ^ 5 <*)*-.
n = 0 n=0 -Я —Я rt*=0
Я Я
________L [ dz________— Re [ 1
~ 2n ) 1 - Яф (z) 2n дс J 1 - Яф (z)
—я -я
dz ¦¦
2я S Re 1 - Яф (г) dz•
-Я
В силу теоремы Фату
оо оо Я
? Р = 0} = hm Y Ь р {In = 0} = lim $ Re , _ Яф (г) dz >
/1=»0 И**0 Т -Я
Я Я
\ lim dz = ^~ ^ Re-j—Ц-т-
2л J Щ 1 — Яф (z) 2л J 1—Ф(г)
Из (1) и следствия леммы 2 вытекает возвратность случайного блуждания.
