Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
tf = M|?(/ + <7)p-M|?(0 |2 =
оо оо
= Дк(0)-$ \ W)Rll(t-s)c(s)dsdt. (11)
о о
Полагая R^ (0) = сг| и переходя к спектральному представле-нию корреляционной функции Ru (/), получим
оо
62 = or| — jj \c(iu)?dFn(u), (12)
304 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
где Fn (и)— спектральная функция процесса %(t) и
оо
c(iu) — ^ c{t)e~iut dt.
о
Изложим кратко метод решения уравнения (9), предложенный Н. Винером. Допустим, что спектр процесса %(t) абсолютно непрерывен и спектральная плотность /ц (и) допускает факторизацию (см. теорему 3 § 5)
00
fll («) = I h (iu) I2, h(z) =-^=-\a{t)e~zi dt, Rez>0.
V2rt J
Из равенства Парсеваля для преобразования Фурье следует, что
00 00
^ etta\ h{iu)\2 du=^ a(t + s)a(s) ds.
— oo 0
Предположим еще, что взаимная спектральная функция процессов ?(/) и l(t) абсолютно непрерывна и ее плотность hi (и) удовлетворяет условию
(“)
h (iu)
Тогда
k{iu)^3?2. (13)
#«(0— 5 eitaf^b(u) ^и== ^ eitak{iu)h(iu) du = ^&(/ + s)a(s)ds,
где
oo
b (t) = —\=r i k {iu) eiia du. V2n J
V2;
С помощью полученных выражений уравнение (9) может быть переписано следующим образом:
оо г оо *1
^ b (q + t + s) — ^ с (0) a(t — 0 + s)dQ I a(s)ds = 0, t > 0. (14)
о L о J
Чтобы (14) имело место, достаточно, чтобы функция c(t) удовлетворяла уравнению
оо
b(q + x) = ^ с (Q)a(x — 0) dQ, х>0. (15)
ПРОГНОЗ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
305
Уравнение (15) того же типа, что и уравнение (9), с тем лишь существенным различием, что функция a(t) обращается в нуль для отрицательных значений t. Записав (15) в виде
мы можем непосредственно решить это уравнение с помощью преобразования Лапласа. Умножая равенство (16) на е~гх и интегрируя от 0 до оо, получим
причем выражение для Bq(z), Rez>0, может быть записано в виде
Формулировка предположений, при которых выведены формулы (17), (18), весьма громоздкая. Проще при решении конкретных задач непосредственно проверять законность предлагаемых преобразований, приводящих к решению задачи.
Г) Метод Яглома. В методе Яглома, в отличие от метода Винера, отыскивается не импульсная переходная функция оптимального фильтра, которая может и не существовать, а частотная характеристика. Не даются общие формулы решения задачи, а предлагается только метод подбора искомой функции, исходя из тех требований, которым она должна удовлетворять. Во многих важных случаях этот подбор довольно просто осуществим.
Пусть двумерный стационарный процесс ?(0) Д°ПУ"
скает спектральное представление
X
b (q + я) — ^ с (0) а(х—0)d0, х > 0, (16)
о
Bq {z) = C{z)h{z),
где
оо
со
Bq (2) = —¦}=- ^ ft {q + х) е~гх dx, С (2) = -^==- ^ с (() e~zt dt.
Таким образом,
Оо
оо
со
гш hi du
(18)
— 00
h (iu) г — iu
ОО со
!(/)= J (du), ?(/) = J eiut\2{du)
— 00 —00
306 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
с матрицей спектральной плотности
fflliu) fn(u)\
\fl l(u) /ее(«)/
По-прежнему рассматривается задача оптимальной оценки величины t,(t + <?) по значениям процесса |(s), s ^ t. Прогнозирующий процесс t,(t) подчинен |(/). Поэтому
оо оо
l(t) — ^ ешс (iu) Vj (du), ^ | с (iu) |2 /ц (и) du < оо. (19)
— ОО —00
Уравнение
М?(t + q)l (s) = М? (t) I (s), s < определяющее процесс t,(t), принимает вид
оо
5 eias {etaqhl(u) — c(iu)fn(u)} du==0, s > 0. (20)
— oo
Кроме условий (19) и (20), мы имеем еще требование, чтобы c(iu) была частотной характеристикой физически осуществимого фильтра. Эти условия будут выполнены, если
