Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, операторные уравнения, соответствующие (6.51) — (6.53), принимают вид
U (—а0, а) О (Т) = О (Т) U (а0, а); (6.54)
U(R)0(T) = 0{T)U(Ry, (6.55)
U (%-v) 0(Т) = 0 СГ) U (25„). (6.56)
Рассмотрим инфинитезимальное пространственно-временное смещение. Комбинируя (4.28) и (4.49), получаем
?/(Оо, а)= 1 +i(aoP0 — а-Р).
Подставляя это выражение в (6.54), приравняем коэффициенты при а0 и а. С учетом свойств антилинейности (6.28) имеем
Р0О(Г) = О(Т)Р0; (6.57)
РО (Т) = — О (Г) Р. (6.58)
175
Используя прежние аргументы, находим, что О(Т)фЕ, р есть состояние с энергией Е и импульсом (—р). Таким образом, О(Т)- оператор обращения времени.
Рассмотрим теперь массивную частицу со спином s. Начнем с набора (2s-(-l)-состояний покоя фоя. Из (6.58) следует, что состояния О(Т)фо,л. также являются состояниями покоя. Однако они не преобразуются стандартным образом при поворотах. А именно, мы имеем
U (R) О (Г) ф0>. = О (Т) U (R) фо>. =
= О (Т) ( ? ФогЖк (R)} = S A (R) О (Г) фсл,
где вместо 3) в правой части равенства стоит 25*.
Теперь из (3.70) и (3.84в) находим
2jI\(R) = ,-х (R).
Отсюда можно показать, что
U(R) (- l)-s-^0 (Т) фо,_х = Е П.Ч. (R) (- 1)-*^' О (Т) фоя/,
Л'
т. е. набор (2s+l)-состояний покоя
(— У'Г$~К0(Т) ф0,_х
при поворотах преобразуется тоже стандартным путем. Отсюда можно сделать вывод, что О (Г) (ро.-i и (—1)5+?-Фоя пропорциональны. Подставляя —л вместо к, получаем
О (Г фоя = 11г(—1)5_?“фо,-я- (6.59)
Здесь цт— фазовый множитель, не зависящий от к.
В отличие от случая пространственной инверсии, мы не можем интерпретировать цт как собственное значение, так как векторы состояния в обеих частях этого уравнения не одинаковы. Даже тот факт, что квадрат Т есть тождественное преобразование (6.50), не приводит к ограничению цт, так как, согласно (6.27),
°(Т)2%к = °(т) (Vr(— ^-NPo.-aJ = "ПИ— !)S~V(— l)s+x?ox. Таким образом, так как цт = 1,
О(Т)*<р0Х = (-1)г'<р0Х. (6.60)
Это обобщает результаты, установленные ранее для случаев s=Q и s—1/2. Фактически цт можно изменить, умножив все состояния на общий фазовый множитель. Поэтому выберем
TJT = 1. (6.61)
Как и в случае оператора четности, формулу (6.59) можно упростить, если заметить, что состояние фо, -х получается из
176
состояния фол с помощью соответствующего поворота, например, на угол л относительно оси Оу:
и (Г«) Фох = (—
Выражение (6.59) при т)г= 1 принимает вид
0(Т)%х = и(Уп)%^ (6.62)
Рассмотрим оператор О(Т), действующий на состояние, импульс которого направлен вдоль оси Oz. Используя (6.56), находим
0 СП Фрооон = О (Т) и (?,) ф000?, = и (Ш-Р) О (Т) ф000, =
= и (S5_p) u(Yn) %ш = и (Уп) и №Р) фооог Таким образом,
0 СП %ш = U (7«) Фроог (6 - 63>
Этого и следовало ожидать. Так как поворот не меняет спиральности, уравнение (6.63) утверждает, что Г-преобразование состояния с определенными импульсом и спиральностью приводит к состоянию с противоположным импульсом, но с той же спиральностью (следовательно, с противоположной проекцией спина).
Аналогичный расчет можно проделать для состояния
Фрпох, определяемого уравнением (4.66). Г-преобразование состояния, импульс которого направлен по отрицательной оси Oz, а спиральность равна X, будет иметь импульс, направленный по оси -{-Oz, и противоположный спин (а следовательно, такую же спиральность). Это состояние также можно связать с исходным с помощью поворота Yn. Подробные расчеты используют только для проверки фазовых множителей. Имеем
0 СП Фряох = 1ехР (—!"«)]*U (Zn) и (Yл) О (Т) сррШ =
= ехр (ins) U (Z„) U (Уя) U (Кя) q>pm = ехр [in (s — Я)] (— 1 /’\т, (6.64)
так как есть поворот на 2л, которому соответствует умножение на ± 1 для целого или полуцелого спина. Уравнение (4.66) можно обратить:
фй«=<-w (у»> w <6-65>
Комбинируя последние два уравнения, получаем
°(^Фряох= 67 (Г") Vor (6-66)
Формула (6.66) аналогична (6.63).
Чтобы определить свойства двухчастичного собственного состояния момента количества движения при обращении времени, объединим полученные ранее результаты с интегральным представлением (4.89).
177
Если не учитывать множители, двухчастичное состояние плоской волны в с. д. м. имеет вид
• ~ ?PooxaVov
Тогда из соотношений (6.63) и (6.66) получаем
