Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
чение его по обращенному во времени состоянию 0Г1|) в момент времени t равно комплексно сопряженной величине среднего значения А в исходном состоянии ijj в момент времени —t. Таким образом,
(ip7-, AT^T)t = (1|з, Лф)1<.
Если А—эрмитова наблюдаемая, то правая часть уравнения вещественна, так что
(Г, ATtyT)t — (ip, (6.32)
Сравнивая эту формулу с уравнениями (6.16) — (6.20), находим, что для обращения времени обычных наблюдаемых имеюг место следующие соотношения:
гт = ОтгОт = —г;
Рг = —Р; l/ = — L; ST = — S, а для спиральности Ж = J • Р/[ Р [ получаем
Жт = ОтЖОт1 = +Ж. (6-33)
Таким образом, применяя дважды оператор обращения времени t-*- — f,’приходим к исходному состоянию. Так, в классическом случае при обращении во времени траектории гт(/) воз-
вращаемся к исходной траектории г(t). Это следует из (6.2).
Аналогично и в случае квантовой механики бесспиновой частицы с помощью уравнения (6.15) получаем, что обращенное во времени состояние ipT(r, t) есть ip (г, t). Формально
Orife (г. О = От {^* (г, —0> = Ч? (г. *)•
Следовательно, для бесспиновых частиц
От = \. . (6-34)
166
Однако в случае частицы со спином 1/2 матрица (—кту) действительна и (—iОу)2=—1, поэтому имеем
ОтЧ? (г, t)'= От{— кт^* (г. — 0} = (— toy)* (— tag)Ч? (г. *)’= — Ч? (г. *)•
Таким образом, для частиц со спином 1/2
0? = —1. (6.35)
Равенства (6.34) и (6.35) абсолютно разные, что обусловлено антилинейностью От. Можно попытаться переопределить От, умножив его на комплексное число со, которое для сохранения антиунитарности должно иметь единичный модуль. Од-
нако знак квадрата оператора не меняется:
(От)2 ~ (coOj-)2 = а>От(йОт — сосо*0^ -- От,
потому что | со | = 1. Очевидно, существенную роль при этом играет свойство антиунитарности От. Обычно унитарный оператор четности выбирается таким, чтобы U(P)2= 1. Однако мы
имеем такое же право определить U (P)'=atU(P), что приведет
к соотношению
{U (Р)'}2 = co2t/ (Р,2 = со2,
имеющему тот же физический смысл.
При обращении времени О\ должен быть обязательно равен ±1. Выбор знака зависит от рассматриваемой системы. Далее мы увидим, что для состояния частицы со спином s
0(Т)2 = (— 1)2\
Кроме того, для состояния N частиц со спином 1/2
0?=(-1)\
Результаты, приведенные в этом и двух предыдущих разделах, получены Вигнером [181].
6.2.4. Инвариантность относительно обращения времени в процессах рассеяния и реакциях. Докажем, что если система инвариантна относительно обращения времени, то оператор рассеяния удовлетворяет соотношению
0TS0J1 = S+.
Отсюда можно сделать вывод, что если существует инвариантность относительно обращения времени, то амплитуда перехода из состояния а в состояние Ь равна амплитуде перехода из обращенного во времени состояния Ь в обращенное во времени состояние а, т. е. начальное и конечное состояния должны поменяться местами, и каждое из них должно быть обращено во времени.
В § 6.3 обсудим свойства обращения во времени состояний спиральности. Результаты, полученные при обсуждении, вместе с только что сделанным утверждением позволят сделать выводы
169
из инвариантности относительно обращения времени для амплитуд перехода в формализме спиральности.
Для систем с локализованным взаимодействием был введен оператор рассеяния S, связывающий состояния до и после взаимодействия. Для того чтобы понять смысл операции обращения времени, необходимо более подробно рассмотреть временную зависимость этих состояний.
Для определенности рассмотрим двухчастичное рассеяние в с. ц. м., пренебрегая спином. Развитие состояния системы во времени описывается вектором состояния Ф(0- Он удовлетворяет некоторому уравнению движения, которое не будем записывать в явном виде.
Условия эксперимента по рассеянию предполагают, что Ф(0 имеет простую асимптотическую форму при t-*- ±00.
а
Рис. 6.2. Асимптотический вид состояния Ф(0 (о) и Фг(0 (б). Состояние ф(7) соответствует условиям эксперимента по рассеянию
В случае f-*-----00 Ф(/) стремится к плоской волне, а в случае
i—>-оо — к расходящейся сферической волне (рис. 6.2):
Здесь х и — решения уравнений движения без учета взаимодействия. Их можно представить в виде суперпозиции состояний плоских волн фк с определенными импульсом и энергией, имеющих простую зависимость от времени. Таким образом,
хш-+
6
(6.36)
