Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
р = а\ + Ь-а,
где
= (°х > Gy > Gz) ¦
Так как
Тг (ах) = Тг (ау) = Тг (а2) = 0, Тг (1) =2, то равенство (Б.7) требует, чтобы
a = J! 2,
так что положим
Р = у^(1+Р-«). (Б.10)
Для того чтобы фиксировать значение р, нужны четыре числа У и Р. Величину Р называют вектором поляризации пучка. Физический смысл ее следующий.
С помощью свойств матриц Паули
ад, = — ОуОх = и т. д> (Б. 11а)
и
и =г2_„2
рассчитаем
а*х = о2у = о2г = \ (Б. 116)
Тг (агр) = Р$. (Б. 12)
Таким образом, в силу (Б.8) вектор Р является средним значением при измерении величины а для пучка, описываемого с помощью р. В явном виде
& ~ Ри “Ь Ргг >
УРх = Р21 + Р12;
УРу = i (Р21 Р12);
?Рг = Ри Р22 •
Например,
Число частиц со спином вверх — число частиц со спином вниз
2 Полное число частиц
320
Представим себе, что мы выполняем ‘ с пучком эксперимент типа эксперимента Штерна—Герлаха*. Он сводится к измерению той части случаев, в которой 2-проекция спина равна +1/2 и —1/2, следовательно, к определению РI. Аналогично путем переориентации аппарата можно определить Рх и Ру и таким образом определить полную матрицу плотности (Б. 10).
Для того чтобы глубже понять смысл матрицы плотности, рассмотрим несколько специальных случаев.
а. Предположим, что все частицы пучка находятся в одном и том же состоянии
Тогда, согласно общим определениям (Б.З) и (Б.4), суммирования по г нет и (Б.4) приобретает вид
В то же время, так как Р — среднее значение а для пучка, а следовательно, и для каждой частицы в состоянии г|з, можем записать
Значит, в этом случае Р — единичный вектор, компоненты которого являются средними значениями компонент о.
Напомним далее, что для частицы со спином 1/2, находящейся в состоянии г|5, всегда существует такое направление квантования п, вдоль которого проекция спина равна +1/2
(а —удвоенный оператор спина). Для этого надо перейти к новой координатной системе в двухкомпонентном спиновом пространстве, такой, чтобы а ¦ п и г|з приобрели вид
* Фактически аргументы принципа неопределенности показывают, что для таких заряженных частиц, как свободные протоны, эксперимент Штерна—Герлаха не может быть выполнен (см„ например, работу Мотта [141] ), так что для проведения нужных измерений необходим косвенный эксперимент по рассеянию.
(Б.13)
Интенсивность задается простым выражением
Jr = Tr(p)=|c1|* + |c1|*> .
а компоненты вектора поляризации равны:
Рх — 2Re (с2с1)/( | Cj |а | с2 |2);
Ру = 21m (c2cJ)/( | сх I2 + 1 с212); pz = (I Ci I3 — I c2 |2)/( I q |2 + | ca |2).
(Б.14)
P = (t|>, ai|>)/(t|>, t|>),
(Б.15)
что совпадает с выражением (Б.14). Из (Б.14) следует, что
|P|2=p2 + p2 + p2 = i_
(Б. 16)
а-пг|з = г)з
(Б.17)
Теперь покажем, что направление п задается вектором Р. Свойства (Б.11) можно суммировать как
afij + opi = 26;/, i, / = 1, 2, 3.
Возьмем среднее значение по г)з для этого тождества (г|з, а;а;г|з) + (г|з, а/а^) = 26;/ (t|>, t|>).
Следовательно,
(г|з, п-аау^) + (г|з, а/П-сл|з) = 2п/ (ty, г|з).
Теперь в левой части равенства имеем эрмитов оператор п-а, действующий налево и направо, и, воспользовавшись (Б. 17), получим
2 (г|5, а;г|з) = 2ri) (\jJ, \|>).
Таким образом,
/1;=(г|з, а;г|з)/0|), 'P) = Pj.
Короче, пучок, для которого все частицы находятся в одном и том же состоянии г)з, называется полностью поляризованным. Матрица плотности его имеет вид
р = -^-^(1 + Ро), где вектор Р направлен вдоль направления поляризации и
|Р| = 1.
б. Теперь рассмотрим пучок, матрица плотности которого
р=уЛ. (Б.18)
Если с таким пучком выполнить эксперимент типа Штерна—Герлаха, то при любой ориентации аппарата пучок будет расщепляться на две одинаковые части. Следовательно, пучок частиц, описанный матрицей (Б. 18), будет неполяризованным.
в. Далее, предположим, что
