Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Мы не будем рассматривать здесь временную зависимость состояний фа и ф. Для этого читатель может обратиться к учебникам по теории рассеяния. Однако в некотором смысле 5 является функцией гамильтониана И.
Пусть фь — состояние свободно движущихся частиц определенного вида с хорошо определенными импульсами, которое можно определить с помощью счетчиков. Амплитуда вероятности того, что состояние г|з находится в состоянии ф&, по общему принципу квантовой механики равна (фь, ф), или в соответствии с равенством (2.10) (фь, 5фа )=5ьа- Здесь Sba — элемент 5-матрицы.
Предположим, что, когда а принимает все возможные значения внутренних квантовых чисел, состояния фа являются орто-нормированными и образуют полный набор. Это предположение выражается формулами
(ф*. Фя) = ^а; (2.11у
2фаф*=1, (2-12)
а
где 1 означает единичный оператор.
IT
Любое нормированное начальное состояние можно представить в виде ф= 2саФа. гДе величины са соответственно удовлетворяют
условию
(2.13)
Са |2= 1.
В соответствии со сказанным выше система, находящаяся в таком состоянии, придет в конечное состояние фь с амплитудой веро-
• ятностн
(Ф*. 5Ф) = 2 с0 (фь, 5ф^ = 2 sbaca .
а а
и, следовательно, с вероятностью
I 2 SbaCa\2 =22
1 с I а а
Так как начальное состояние нормировано и общая вероятность нахождения системы в некотором конечном состоянии равна единице, то, суммируя по Ь, получим
1 = 222 SA-v;.. (2.14)
baa
Если закон сохранения вероятности выполняется для каждого начального состояния ф, равенство (2.14) справедливо для всех возможных значений коэффициентов са, удовлетворяющих условию (2.13). Из этого следует, что равенство
*2 sbas;a, = ба0. (2.15)
ь
должно выполняться.
В развернутом виде выражение (2.15) имеет внд
2 (Фа-, S+Ф*) (ф*, 5Фа) = Saa'
или (2.16)
(фа„ S+Sva) = Ьаа'.
В последнем случае использовалось условие полноты (2.12). Уравнение (2.16) эквивалентно операторному соотношению
S+S=l. , (2.17)
Можно показать, что соотношение
SS+=1 (2.18)
вытекает нз менее очевидного условия, заключающегося в том, что каждое нормированное конечное состояние должно возникать из некоторого нормированного начального состояния. Оператор, удовлетворяющий (2.17) и (2.18), называют унитарным. Унитарность S выражает закон сохранения вероятности.
Если рассматривать систему невзаимодействующих частиц, конечное состояние по существу окажется тем же, что и начальное,
18
т. е. в нем присутствуют частицы того же вида и с теми же импульсами. В таком случае имеем 5 = 1.
Далее, удобно ввести оператор перехода 3~, определяемый равенством 5=1+1 ?Г. Матричные элементы ИГ описывают взаимодействие между компонентами системы.
В последующих главах покажем, как принципы инвариантности приводят к условиям для элементов 5- и 3~ -матриц. Экспериментальная проверка этих условий будет также проверкой предполагаемого принципа инвариантности.
В квантовой электродинамике и теории слабого взаимодействия показано, как можно найти элементы 5-матрицы из более-фундаментальных величин, а именно из гамильтониана взаимодействия и операторов квантованного поля, входящих в него.
С этими операциями, которыми мы не имеем возможности воспользоваться, читатель может познакомиться в специальной литературе.
Рассмотрим систему, описываемую гамильтонианом Я. Прежде всего иадо определить наблюдаемые Q, которые коммутируют с Я, т. е.
[Я, Q] = 0, (2.19)
и для которых, как уже говорилось выше, собственные состояния Я также являются собственными состояниями Q. Таким образом, стационарные состояния системы можно характеризовать собственными значениями Q. Для атомной и ядериой физики это типичная ситуация. Оператор Q, удовлетворяющий условию (2.19), называется интегралом движения.
Подобные величины продолжают играть важную роль при рассмотрении 5-матрицы. Точнее, это выражается следующей теоремой.
Если Q есть наблюдаемая, которая коммутирует с гамильтонианом Я системы [Q, Я] = 0, то Q коммутирует и с 5-матрицей этой системы [Q, S]=0. Предположим, что S является в некотором смысле функцией Я. Тогда доказательство следует из математической теоремы о том, что если наблюдаемая Q коммутирует с Я, то она коммутирует и с любой функцией Я.
