Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
[Fi,F,] = ij]fttkFk. (Ю.9)
/е= 1
Инвариантность относительно SU (3) выражается с помощью генераторов
^1-0, t=l,2, 8. (10.10)
Наконец, отождествим F{ с физическими величинами. Нетрудно видеть, что ки к2 и — матрицы изоспина, дополненные строкой и столбцом из нулей.- Следовательно, они и Fи F2 и F3 подчиняются коммутационным соотношениям изоспина, так что положим
F1 = I„ Ft= h, F3 = I3. (10.11)
Cii, к2 и кз коммутирует единственная матрица к&. Следовательно, f8 — единственный оператор, коммутирующий с операторами (10.11), и можно предположить, что он пропорционален другому аддитивному квантовому числу У для адронов.
Так как удобнее иметь дело не' с У, а с М, положим
/78 = АТ = -1_. з*/.у. (10.12)
Здесь следует заметить, что барионное число В остается вне схемы SU (3). Вследствие этого барионное число можно приписать супермультиплету независимо. Таким образом, в отличие от модели Сакаты, в данной схеме существуют октеты барионов и мезонов.
Так как /3 и М (т. е. У) коммутируют друг с другом, наши состояния можно выбрать такими, чтобы они одновременно являлись и собственными состояниями этих операторов. Ни один из других операторов не коммутирует ни с /3, ни с М, так что постулируемая симметрия не предсказывает никаких дополнительных аддитивных квантовых чисел. Это утверждение соот-; ветствует эмпирическим наблюдениям. Операторы F4, ..., FT — новые интегралы движения для Ясильн. В частности, они имеют матричные элементы между состояниями с разными У, и, как мы увидим дальше, это приводит к соотношениям между свойствами состояний с разными У. Таким образом, можно ожидать, что
239
наша симметрия свяжет состояния с разными Y (и /) в супер-мультиплеты с аналогичными свойствами.
Наша первая задача — определить структуру этих супермуль-типлетов. Для этого коммутационные соотношения (10.9) перепишем в более удобной форме.
Определим операторы сдвига:
1± = Fi± iFi'y }
^± = ^6+^7; (10ЛЗ)
V± = Ft + i\Fa. j
Объединим /3 и M в двухкомпонентный вектор G=(/3, М). Поводом к этому является то, что собственное состояние ф(/3', М') операторов /3 и М можно представить точкой, определяемой вектором g= (/3', М') на плоскости.
U -V
-I-
Рис. 10.1. Векторы, ассоциированные с операторами сдвига в 5^7(3)-группе
V -U
Введем постоянный вектор I = (1, 0). Таким образом, коммутационные соотношения (73, /±] = ±/±, [М, /±]=0 можно объединить в
[G,/±]= + i/±. (Ю.14а)
Другие соотношения для изоспина, соответствующие (10.1), приобретут вид
[/+,/_] = 2i • G. (10.146)
Аналогично введем векторы
u=(—L -L.sv.V. v==(_ _L,__L.3‘
\ 2 ’ 2 у V 2 2
которые совместно с вектором i обладают гексагональной симметрией, что и показано на рис. 10.1. Из (10.8) находим:
[G, U±] = ± uU±; (10.14b)
[U+,U_] = 2uG; (10.14г)
[G, V±] = ±vV±; (Ю.14д)
[V+, K_] = 2v G. (10.14e)
240 '
Далее, пользуясь в каждом уравнении только верхним или нижним знаком, получаем
[7±, ?/±] = ± (10.14ж>
lU±,V±)=±h; (10.143)
IV±,1±)=±U?. (10.14и>
Коммутатор любой другой пары операторов равен нулю. Уравнения (10.14а) — (10.14и) [другая форма записи выражений (10.8)] представляют собой коммутационные соотношения
группы SU (3).
Для того чтобы не потеряться среди такого большого количества соотношений, полезно отметить естественное соответствие /+—>-i, V_—>-—v и т. д.
Руководствуясь очевидным соотношением (см. рис. 10.1)
i + u = —v, получаем
[/+, U+] = V-,
но i—и не равно ни одному из шести векторов, так что
[/+, ?/_] = 0.
Значения этих обозначений станут более понятными в следующем разделе.
G, 1±, U± и У± образуют независимый набор восьми генераторов. Однако иногда бывают полезны и другие комбинации. Если мы определим
иэ=-±13 + ±-З^М, (10.15)
то операторы U+, U_ и U3 будут подчиняться коммутационным соотношениям изоспина. Эти операторы, называемые операторами ?/-спина, имеют следующий физический смысл. Оператор электрического заряда является комбинацией генераторов SU (3):
