Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
*) Под жидкостью здесь подразумевается непрерывное тело теоретической гидродинамики, а не какое-либо тело, имеющее молекулярное строение и характеризующееся молекулярным движением реальных жидкостей.
гл. XII. О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМ II АНСАМБЛЕЙ СИСТЕМ
147
элементом объема, будет приближаться в любой требуемой степени к его значению до перемешивания. Но если мы возьмем любой пространственный элемент с фиксированными положением и размерами, мы можем продолжать перемешивание столь долго, что плотности окрашенной жидкости, определенные для этих заданных элементов, приблизятся в конце концов к пределу, соответствующему однородности, именно, к плотностям совершенной смеси.
Этот случай, очевидно, является одним из тех, в котором предел предела имеет различные значения, в зависимости от порядка, в котором мы применяем процесс взятия предела. Если, положив элементы объема постоянными, мы продолжаем перемешивание в течение неопределенного времени, то мы придем к однородной плотности—результат, который не изменится, сколь бы малыми мы ни выбирали элементы объема; но если, рассматривая перемешивание как нечто конечное, мы будем безгранично уменьшать элементы объема, то мы получим точно такое же распределение по плотности, как и перед перемешиваниями—результат, который не изменится, сколь бы долго мы ни продолжали перемешивание. Вопрос этот в значительной степени является вопросом языка и определения. Можно было бы, пожалуй, сказать, что конечное перемешивание не изменяет среднего квадрата плотности окрашивающего вещества, тогда как бесконечное перемешивание можно считать создающим условия, при которых средний квадрат плотности имеет минимальное значение, а плотность однородна* Мы можем с определенностью сказать, что заметно однородная плотность окрашенной компоненты может быть осуществлена перемешиванием. Будет ли время, требуемое для достижения этого результата, коротким или долгим, зависит от природы движения, сообщенного жидкости, и тонкости нашего метода вычисления плотности.
Все это будет более ясным, если рассмотреть какой-либо частный случай движения жидкости. Представим себе цилиндрическую массу жидкости, один сектор в 90° которой—черного цвета, а остальная часть—белая. Пусть эта масса движется, вращаясь вокруг оси цилиндра, с угловой скоростью, являющейся функцией расстояния от оси. С течением времени черная и белая части вытянутся в тонкие ленты, закручивающиеся спирально вокруг оси. Толщина этих лент будет безгранично уменьшаться, и жидкость будет стремиться к состоянию идеальной смеси черной и белой частей. Иными словами, соотношение черного и белого приближается в любом заданном элементе пространства к предельному значению 1:3. Тем не менее, в конце любого конечного промежутка времени полный объем разделяется на две части, одна из которых состоит исклю-
ГЛ. XII. О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМ И АНСАМБЛЕЙ СИСТЕМ
чительно из белой жидкости, а другая—исключительно и$ черной. Если начальное распределение плотности окрашиваю-щего вещества вместо того, чтобы быть равномерным по всему сечению цилиндра, будет представлено произвольной функцией цилиндрических координат г, 0 и z, действие рассматриваемого движения, продолжающегося неопределенное время, будет состоять в приближении к условиям, при которых плотность является функцией только г и z. При этих предельных условиях, средний квадрат плотности будет меньше, чем в начальных условиях, когда плотность предполагалась меняющейся в зависимости от 0, хотя средний квадрат плотности будет в конце любого конечного промежутка времени тем же самым, что и в начале.
Если мы сосредоточим наше внимание только на движении в одной какой-либо плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра, то мы увидим нечто, почти тождественнее с графическим изображением изменений фазового распределения ансамбля систем с одной степенью свободы, в котором движение периодично и период изменяется вместе с энергией, как в случае маятника, качающегося по дуге круга. Если координаты и импульсы систем представлены прямоугольными координатами на диаграмме, то точки диаграммы, представляющие изменяющиеся фазы двигающихся систем, движутся относительно начала по замкнутым кривым постояннной энергии. Движение будет таково, что площади, описываемые точками, представляющими двигающиеся системы, будут постоянными. Единственным различием между движением жидкости и движением на диаграмме будет то, что в одном случае траектории^ являются круговыми, а в другом—более или менее отличаются) от этой формы.
Когда энергия пропорциональна />* + #% кривые постоянной энергии представляют собой окружности, и период не зависит от энергии. Таким образом здесь нет стремления; к состоянию статистического равновесия. Диаграмма поворачивается вокруг начала, не изменяя своей формы. Это соответствует такому случаю движения жидкости, в котором жидкость вращается с равномерной угловой скоростью подобно/ твердому телу.
Аналогия между движением ансамбля систем в фазовом пространстве или стационарным потоком в несжимаемой жидкости и графическим изображением случая одной степени свободы, апеллирующим к нашей геометрической интуиции,, достаточна для того, чтобы показать, каким образом сохранение фазовой плотности, требующее сохранения среднего значения показателя вероятности фазы, может оказаться совместимым с приближением к предельным условиям, в которых
