Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из определений и тг)а следует, что выражение (436) можно также написать в виде
^ . .. ^ irk ет‘ dpL .. . dqn+ ^ \ dP1 • • •
< \ ' ‘' S 71 eT‘dpi ' '' dqn’
ЯЛ И
^ . .. ^ (vj — — 1Г13) eTf dpy. .. dqn > 0,
где интегрирование производится по всем фазам. Прибавляя уравнение
^ eVr т* dPl... dqn = 1, (441)
которое мы получим умножением (438) на (439), и вычитая (437),
мы получим для предложения, которое нужно доказать, выра-
жение
все
^ ••• J + (442)
фазы
Пусть
H = iq — tu — ъ- (443)
138
ГЛ. XI. СВОЙСТВА ФАЗОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Главное предложение, которое необходимо доказать, может быть тогда написано в виде
Это, очевидно, справедливо, так как величина, стоящая в скобках, не может принимать отрицательных значений *). Более того, знак = может иметь место только тогда, когда величина, стоящая в скобках, исчезает для всех фаз, т. е. когда и = О для всех фаз. Это дает 'f)--= ^ + v)2 для всех фаз, что и является аналитическим условием, выражающим, что распределения по фазам двух частей системы не зависимы друг от друга.
Теорема VIII. Если два, или более, ансамбля систем, тождественных по природе, распределенных по фазам раз-личным образом, объединены в один ансамбль, так что коэффициент вероятности результирующего ансамбля является линейной функцией коэффициентов вероятностей начальных ансамблей, то средний показатель вероятности результирующего ансамбля не может быль больше, чем такая же линейная функция средних показателей первоначальных ансамблей. Он может быть равен ей, только если первоначальные ансамбли одинаково распределены по фазам.
Пусть Р19 Р2, ... — коэффициенты вероятностей начальных ансамблей и Р — коэффициент вероятности ансамбля, образованного их комбинированием, и пусть Nlt iV2, ... — числа систем в первоначальных ансамблях. Очевидно, что
Главное предложение, которое необходимо доказать, есть
все
фазы
(445)
где
(44 о)
все
фазы
все
фазы
*) Gm. теорему 1, где то же самое доказывается для подобного выражения.
ГЛ. XI. СВОЙСТВА ФАЗОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
119
ИЛИ
все
! log Pi)— PlogPj dpt... dqn >0. (448)
фазы
Если положить
Ql = Pi log Pt — Pt log P — Рг + P,
ro Qi будет положительным, если только оно не исчезает для Рг = Р. Чтобы доказать это, мы можем рассматривать Р1иР как произвольные положительные величины. Тогда
с
(*Qi =1
\OP\Jp р1'
Так как и исчезает для Рг = Р и вторая производная
всегда положительна, должно быть положительным всегда, кроме случая Рг=Р. Следовательно, если Qt,¦ ¦. определены подобным же образом, то
(449)
Но, поскольку
2 («А) 588 р
тт
2 (‘М = 2<'А lasPJ--P>»gP э 0 <). (450)
Это доказывает (448) и показывает, что знак = имеет место, только если
Л = Л Р* = Р,
для всех фаз, т. е. только если распределения по фазам первоначальных ансамблей все тождественны друг другу.
Теорема IX. Равномерное распределение данного числа систем внутри заданных фазовых границ дает меньший средний показатель вероятности фазы, чем любое другое распределение.
Пусть т] — постоянный показатель равномерного распределения и т]-f-Ду) — показатель какого-либо другого распреде-
то
*) У Гиббса пропущено « >• 0». (Прим, пер.).
140 I Л. XI. СВОЙСТВА ФАЗОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
ления. Так как число систем внутри заданных границ одинаково для обоих распределений, мы имеем
^ ^ e1'+*r‘dp1 ... dqn = ^ ^ dp, .. . dqn, (451)
где интегрирование, так же как в следующих формулах, производится внутри заданных границ. Предложение, которое нужно доказать, может быть написано в виде
^ ... ^ (т) + Д^) ё’+Ыр, .. . dqn > ^ ^ ¦цеЧр, . .. dqn, (452)
или, поскольку ТГ) постоянно,
^ ... ^ (V) -н Д-rj) еЫр, .. . dqn> ^ 5 ^Рг ¦ • • d4n¦ (4&3)
В (451) мы можем сократить постоянный множитель ет* в обеих частях и умножить их на постоянный множитель (^-f-1). Это дает
• ^ . .. ^ (7) + l)e^ dp, . .. dqn = ^ ... ^ (ij' + l)^ ... dqn.
Вычитание этого уравнения не изменит доказываемого неравенства; мы можем, следовательно, написать
^ ... ^ (Дт) -1) еЫр, .. .dqn>'^ ... ^ - dp, .. . dqn,
или
^ ^ (Дтг)ед^ —еАу'4-1) dpt . . . dqn > 0. (454)
Так как величина, стоящая в скобках, в этом выражении всегда имеет положительное значение, кроме случая Дтг) = 0, когда она равна нулю, то интеграл будет положительным, если только Дт) не равно нулю всюду в рассматриваемых границах, что привело бы к исчезновению различия обоих распределений. Теорема, таким образом, доказана.
