Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА XII
в ДВИЖЕНИИ СИСТЕМ И АНСАМБЛЕЙ СИСТЕМ В ТЕЧЕНИЕ ДЛИТЕЛЬНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ ВРЕМЕНИ
По отношению к любому случаю динамического движения, возникает важный вопрос: вернется ли рассматриваемая система с течением времени к своей первоначальной фазе или, если сна не вернется к этой фазе в точности, произойдет ли эта с любой требуемой степенью приближения в течение достаточно долгого времени? Чтобы иметь возможность дать хотя бы частичный ответ на этот вопрос , мы должны обладать какими-либо сведениями о динамической природе системы. В следующей теореме сделано в этом отношении лишь единственное допущение, которое мы нашли необходимым для существования канонического распределения.
Если мы представим себе ансамбль тождественных систем, распределенных с равномерней плотностью по какому-либо конечному фазовому объему, то число систем, покидающих фазовый объем и не возвращающихся в него, с течением времени будет меньше любой сколько-нибудь заметной доли полного числа систем при допущении, что полный фазовый объем для систем, заключенных между двумя граничными значениями энергии, является конечным, причем эти граничные значения соответственно меньше или больше, чем какая бы то ни было из энергий вышеупомянутого фазового объема.
Чтобы доказать это, мы заметим, что в момент, который мы назовем начальным, системы заполняют данный фазовый объем. Очевидно, что некоторые системы должны немедленно покинуть фазовый объем, если только все они не остаются в этом объеме навсегда. Те системы, которые покидают объем в первый момент, мы назовем фронтом ансамбля. Удобно будет говорить об этом фронте, что он порождает, образует фазовый объем*), через который он проходит с течением времени, точно так же, как в геометрии говорят о поверхности, что она образует объем, черев который сна движется. В раъные промежутки времени
*) У Гиббса: «generating the extension in phase» (Прим. пер.).
142
гл. XII. О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМ И АНСАМБЛЕЙ СИСТЕМ
фронт образует равные фазовые объемы. Это положение является непосредственным следствием принципа сохранения фазового объема, если только мы не предпочитаем рассматривать его как несколько измененное выражение этого принципа. Пусть А и В—объемы, образованные за равные короткие промежутки времени. (Мы берем короткие промежутки лишь для того, чтобы избежать усложнений в формулировке или интерпретации принципа, которые возникают, если один и тот же фазовый объем образуется более чем один раз в течение рассмотренного про-* межутка времени.) Если мы теперь представим себе, что в какой-либо заданный момент системы распределены в объеме А, то очевидно, что эти же системы через некоторое время заполняют объем Ву равный А, в силу упомянутого принципа. Фронт ансамбля, таким образом, за равные промежутки времени образует равные объемы. Однако, все эти объемы содержатся в некотором конечном объеме, т. е. ограничены некоторыми предельными значениями энергии. Раньше или позже, следовательно, фронт должен образовать фазы, которые он образовал ранее. Подобное вторичное образование тех же самых фаз должно начинаться с первсначальных фаз. Поэтому хотя бы часть фронта должна вернуться к первоначальному объему. То же самое, разумеется, справедливо и для части ансамбля, которая следует за этой частью фрснта, проходя в более позднее время через те же самые фазы.
Остается исследовать, как велика часть ансамбля, которая вернется к первоначальному фазовому объему. Не может быть такой части данного фазового объема, системы которой покидали бы объем и никогда в него не возвращались. Мы можем доказать для любой части объема, так же как и для целого объема, что по меньшей мере часть уходящих систем в него возвратится.
Мы можем подразделить данный фазовый объем на части следующим образом. В объеме могут существовать такие части, что заключенные в них системы никогда из них не выйдут. Эти части могут составлять ьесь данный объем. Но, если этот объем очень мал, то такие части будут, вообще говоря, несущественными. Могут существовать и такие части, что содержащиеся в них системы все покидают данный объем и все в него возвращаются. Весь данный фазовый объем состоит из частей этих двух видов. Этим не исключена возможность существования на границах этих частей таких фаз, что системы, отправляющиеся от этих фаз, покидают фазовый объем и никогда в него не возвращаются. Однако, при предположенном распределении ансамбля систем с равномерной фазовой плотностью такие системы не образуют сколько-нибудь заметной доли полного их числа.
1 Л. XII. О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМ И АНСАМБЛЕЙ СИСТЕМ 143
Эти различия могут быть иллюстрированы очень простым примером. Если мы рассмотрим движение твердого тела, закрепленного одной своей точкой и не подверженного действию каких-либо сил, то мы найдем три случая: 1) Движение периодическое. 2) Система никогда не возвращается к своей первоначальной фазе, но возвращается бесконечно близко к ней. 3) Система никогда не возвращается, ни точно, ни приближенно, к своей первоначальной фазе. Но .если мы рассмотрим какой-либ© фазовый объем, как бы мал он ни был, то система, покидающая этот объем, вернется в него во всех случаях, за исключением случая, названного Пуансо «особым», в котором движение сводится к вращению около оси, лежащей в одной из двух плоскостей, имеющих фиксированное положение относительно твердого тела. Но все такие фазы не образуют истинного фазового„ объема в том смысле, в каком мы определили и употребляли этот термин*).
