Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 335
Будем решать его методом характеристик. Положим ktB = р, к2Л = а, к3С = у .
Характеристики
dt ds dG
Т~~ О _ s)(fi - as) = y( 1 - s)G
имеют решения iP — as)y,aG = v .
Общее решение может быть записано как v = F(u), т. е.
G = (/? — as)~ylaF
-/Dr/1-------
\Р ~ as)
(7.6.58)
(7.6.59)
(7.6.60)
(7.6.61)
(7.6.62)
Отсюда мы можем найти различные решения, зависящие от времени Условная вероятность Р(х, t\y, 0) получается из начального условия G,(s,0) = s>’ (7.6.63)
=> F(z) = (1 - fry (I - az)~,la~y(P - ayla
=> G,(s, t) = X1la[P( 1 - e_J0 - s(a - PfT*)]’
X [(/? — ae~h) — as( 1 ¦— е“д')]_у/а_> ,
(7.6.64)
(7.6.65)
где \ = 0 — а. При t —• оо стационарное состояние существует, только если /3 > а, и имеет вид
G,(s, оо) = (у? - as)~,la(f} - аУ'° (7.6.66)
=> Л(*) = Г^т^1ф\Р)Х(Р - аУ1а ¦ (1
Мы можем также получить из уравнения для производящей функции уравнения для моментов, воспользовавшись тем, что d,G(s, /)|,_, = <*(/)> d]G(s,t)l,^ = <*(/)[*(/)_ ]]>.
(7.6.68)
Двигаясь таким образом, получим ? <*(/)> = (к2Л - к^УХф + к3С
(7.6.69)
336 Глава 7
И
~ <4')М0 -- 1]> = 2(к2А - kxB)(x(t)[x(t) - 1]>
+ 2к2А(х({)> + 2к3С(х(г)) . (7.6.70)
Эти уравнения имеют устойчивое стационарное решение при условии, что
к2Л < /г,Д т. е. а < Р .
В этом случае стационарные значения среднего и дисперсии суть
<*>, = к.СЦкуВ - кгА) (7.6:71)
D {х}, = к1к1ВС1(к2А - кхВ)2. (7.6.72)
Эта модель является упрощенным представлением процессов, протекающих в ядерном реакторе: X — это нейтрон. Первая реакция оти-сывает деление при поглощении нейтрона ядром А, в результате которого получается осколок (осколки) D плюс два нейтрона. Вторая реакция описывает поглощение и производство нейтронов в процессах, не связанных с делением.
Когда к2А приближается к к ,5, мы подходим к критической ситуации, где число поглощенных нейтронов почти равно числу выделяющихся. При к2А > кХВ начинается взрывная цепная реакция. Заметим, что при подходе к критической точке как <*s>, так и D[xJ становятся очень велики, и, более того,
D {х ) к,В
- -7 = . _ 1 , , — оо . (7.6.73)
<*>, кхВ — кгА J
Таким образом, <jes> испытывает очень большие флуктуации вблизи критической точки.
Заметим также, что уравнения для среднего значения в этой системе линейны и система является марковской. Методами разд. 3.7.4 (теорема регрессии) можно показать, что
<40, *(0)>, = ехр [(М - kxB)t] D {*}, , (7.6.74)
так что при приближении к критической точке флуктуации становятся исчезающе медленными, т. е. временная корреляционная функция очень медленно убывает со временем.
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 337
б) Химическая реакция X, ^ X,
к 2
Для реакции
Г1!
о]’
— А], кj — к 2 9,(7(5,, s2, /) = — sOCM*, — k2dS2)G(su s2, t)
N
M =
¦(Г , г = -Г
_1_ 1.
(7.6.75)
можно получить решение методом характеристик. Производящая функция является произвольной функцией решений уравнения
ds.
ds2
dt _ ___________________________
1 ki(s2 — s^ k1(s1 — s^'
Два интеграла являются решениями уравнений
k2dsi + k}ds2 — 0 k2s, + k}s2 = v
(*, +k,)J,
s2 - s,
—fe — .^I)e_<,CI+<:2,' = и
Cfo, .v2, t) = (^2 — 5,)e_№l+*r2)'] •
Начальное условие
G(si, s2, 0) = exp [<ф, — 1) + f}(s2 — 0] ,
соответствующее распределению Пуассона, порождает пуассоново решение
G(sj, s2, t) = expj^~_|_ kk'\si ~
(7.6.76)
(7.6.77)
(7.6.78)
(7.6.79)
(7.6.80)
+ /' f |A,(.v, l) + *2(Ji - О]
(7.6.81)
В данном случае стационарное решение не единственно, поскольку х + у является сохраняемой величиной. Из (7.6.79) мы видим, что общее стационарное решение имеет вид
C(j,, s2, со) = F(k2st + kts2, 0). (7.6.82)
Таким образом,
к"
347
ds"
И
ds"7
(7.6.83)
338 Глава 7
откуда следует, что при s, = s2
к\(.х1)/ = ^2^2)/ '
(7.6.84)
7.7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПУАССОНА [7.10]
Этот изящный метод позволяет получать уравнения Фоккера — Планка, эквивалентные химическим управляющим уравнениям вида (7.5.9).
По предположению Р(х, t) представима как суперпозиция многомерных некоррелированных пуассоновых распределений
Это означает, что производящая функция G(s, t) может быть записана в виде
