Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Подставим это в уравнение для производящей функции (7.6.54) и получим
Теперь проинтегрируем по частям, отбросим поверхностные члены и приравняем коэффициенты экспоненты:
а) Уравнения Фоккера — Планка для бимолекулярных реагирующих
Уравнение будет иметь вид Фоккера — Планка, если, как это часто бывает в химических реакциях,
р aa/vxa
Р(х, t) = $ da ]J Л®, »•
а .
(7.7.1)
G(s, 0 = \ da ехр Е (sa - 1 )<*„]/(«, О.
а
(7.7.2)
а
а
(7.7.4)
систем
а
(7.7.5)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 339
что означает, что в реакции участвуют не более чем по две молекулы. Тогда УФП можно упростить следующим образом. Определим потоки
•/» = к+ п «;¦ -к~А П
а а
СНОСЫ
АЛЛ*)] = I] riUa)
А
и элементы диффузионной матрицы 5,,[/(«)] = I] JA(a)(MiMi - - 6a,bri) .
(7.7.6)
(7.7.7)
(7.7.8)
Тогда УФП в представлении Пуассона имеет вид И *[/(«)]/(«, 0}
Ш (3 0&Q
+ iZ
даадаь
(7.7.9)
Заметим также, что если мы воспользуемся явной зависимостью параметров от объема (разд. 7.5.3, формула (7.5.29)) и определим
Па =
е = К~1/2,
(7.7.10)
(7.7.11)
a /r(if, О есть квазивероятность по переменной 77, то УФП относительно переменной 77 принимает вид
= - Е ? 0] + уЕ Аг 0].
где
AM = z riJM
A
Ш = «jnn
a a
BJn) = z: JMWtMi - ¦
(7.7.12)
(7.7.13a)
(7.7.136)
(7.7.13b)
В такой форме мы видим, что разложение по обратному размеру системы (по V~xn) в точности соответствует разложению по малому шуму (по т?) для уравнения Фоккера — Планка (7.7.12). Для подобных
340 Глава 7
управляющих уравнений рождения — гибели этот метод оказывается технически намного более простым, чем прямое разложение пЬ обратному размеру системы.
б) Мономолекулярные реакции Если для всех А
2 МАа < 1 и Е Na < Ь
а о
то, как нетрудно убедиться, коэффициент диффузии Bab(ij) в (7.7.13) обращается в нуль, и мы получаем уравнение Лиувилля. Начальному распределению Пуассона Р(х, t0) соответствует дельта-функция F(ij, tQ), и эволюция во времени, порождаемая этим уравнением Лиувилля, будет порождать решение в виде дельта-функции 6 (у — rj (0), где ч(0 есть решение уравнения
dtjjdt = A{tf).
Это означает, что Р(х, () будет сохранять пуассоновскую форму со средним значением, равным ij(t). Таким образом, мы пришли к общему результату, согласно которому для всякой системы с мономолеку-лярной реакцией существуют распространяющиеся многомерные пуас-соновские решения. Существуют также и непуассоновские решения; они соответствуют начальным F(ij, /0), которые не являются дельтафункциями.
в) Пример
В качестве примера рассмотрим пару реакций *2
1) А + Х^2Х
k4 (7.7.14)
2) В + X ^ С
^3
N'= 1, М' = 2, kt = кгА, ki=kt
A^2= 1, мг= 0, к\ = к{В, = к3С .
Тогда (7.7.4) принимает вид уравнения Фоккера — Планка
д1
dt
д\2 /, I
да,
(7.7.15)
+
1
М)
(kiBa — k3C)f
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 341
?.
dt
~[кгС + (М - М)« - к<а2] + ~[к2Аа - к,а2] оа оа
/ (7.7.16)
при условии, что к2Аа — к4а2 > 0. Кроме того, существует простое соотношение между моментами, которое для случая одной переменной принимает вид
<¦*'>/ = 2 j da[x(x - 1) ... (х — г + 1) = j da af{a) = (а') .
/и
(7.7.17)
Это следует из факториальных моментов распределения Пуассона (разд. 2.8.3). Однако/(а) не является распределением вероятности; по крайней мере то простое определение, которое мы дали этой величине, не гарантирует ее принадлежности к классу распределений вероятности. Действительно, всякая положительная суперпозиция распределения Пуассона должна иметь дисперсию по меньшей мере такую же широкую, как и распределение Пуассона. Поэтому всякая Р(х), для которой дисперсия уже, чем распределение Пуассона, не может быть представлена положительной /(а).
Представление на языке распределений возможно всегда — по крайней мере формально. Действительно, если мы определим
/Да) = (-1)'5'(а)е“, то (7.7.18)
\ dafy(a)e~aa*/x! = { da а* (- ?j * 5(а)/дг! , (7.7.19)
и после интегрирования по частям получаем
(7.7.19) = 8Х,У . (7.7.20)
