Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Граница в b t + (b)P(b) = t~(b + 1 )P(b + 1) Рф + 1) = О
(7.3.7)
б) Обратное управляющее уравнение
Обратное управляющее уравнение имеет вид (см. разд. 3.6) д,,Р(х, t\х', /') = /+(а-')[/’(л:, t\x' + 1, /') — Р(х, t\x’, /')]
+ r(x')[P(x,t\x’ - 1,(')- Р(х,1\хг, О] . (7.3.8)
В случае отражающей границы в точке х = а ясно, что 1~(а) = 0 эквивалентно введению фиктивной Р(х, t\a — 1, /'), такой, что P(x,t\a- I,/') = P{x,t\a,t'). (7.3.9)
318 Глава 7
В .случае поглощающего барьера t+(a — 1) не войдет ни в одно из уравнений для Р(х, t1х', /') при х, х' е [а, Ь]. Однако, поскольку
t + (a — 1) = 0, уравнения, в которых х' < а — 1, очевидно, не нару-
шат условия
Р(х, t\x', /') = 0, х е [a, b], х' < а — 1 , (7.3.10)
что для уравнения с х' = а будет эквивалентно введению
Р(х, t\a- 1,/') = 0 ; (7.3.11)
что и является требуемым граничным условием. Суммируя сказанное,
получим следующую таблицу:
Обратное управляющее уравнение на интервале [а, Ь\ Отражающая Поглощающая
Граница ва Р(Ла — 1) = />(* I аг) Р(’\а — 1) = 0, (7.3.12)
Граница в b Р(ЛЬ + 1) = Р(-\Ь) Р(ЛЬ + 1) = 0.
7.4. СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ
Метод расчета указанных времен в простом «одношаговом» случае близок к методу, разработанному для уравнения Фоккера — Планка (разд. 5.2.7). Пусть система ограничена интервалом
а < х < b , (7.4.1) '
и на каждом конце его частица либо поглощается, либо отражается. Для определенности рассмотрим систему с
отражающей границей в х = а и поглощающей границей в х = b + 1.
Используя, по существу, те же рассуждения, что и в разд. 5.2.7, мы находим, что Т(х) — среднее время, необходимое для того, чтобы частица, находящаяся изначально в точке х, была поглощена, — удовлетворяет уравнению, связанному с обратным управляющим уравнением (7.3.8):
t+(x)[T(x + 1) - Дх)] + г(х)[Т(х - 1) - Т(х)} = - 1 (7.4.2)
с граничным условием, соответствующим (5.2.159) и вытекающим из
(7.3.12):
Т(а - 1) = Т(а) (7.4.3а)
T(b + 1) = 0 . (7.4.36)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 319
Если определить
Щх) = Т{х + 1) - Т(х) , (7.4.4)
то (7.4.2) принимает вид
t+(x)U(x) - t~(x)U(x - I) = 1 . (7.4.5)
При
<7А6)
S(x) = Щх)1ф(х) (7.4.7)
выражение (7.4.5) эквивалентно уравнению
/+(jc)^(jc)[*S'(jc) - S(x - 1)] = -1 (7.4.8)
с решением
S(X) = - t WW*)] • (7.4.9)
2=а
При этом удовлетворено граничное условие (7.4.3а), согласно которому
U(a - 1) = S(a - 1) = 0 . (7.4.10)
Следовательно,
Т(х + 1) - Т(х) = -ф(х) ± l/[r+(zV(z)] , (7.4.11)
х—а
и
Т(х) = s ф(у) ± \!и+Ш?)]
у = х z=а
а отражающая,
Ь поглощающая, (7.4.12) Ь > а,
причем граничное условие (7.4.3) также удовлетворено; Тф + 1) = 0.
Аналогично если а является поглощающей, а Ь — отражающей границей, то
т{х) = ? ф(у) s \;it+wu)\
у=а г=у
а поглощающая,
Ь отражающая, (7.4.13) а < Ь.
Можно также вывести формулу, соответствующую (5.2.128), для случая, когда обе границы поглощающие.
320 Глава 7
7.4.1. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОГЛОЩЕНИЯ
Если а и b конечны, то среднее время до поглощения также конечно. Если, однако, граница b является отражающей и находится в бесконечности, то выражение для среднего времени поглощения может расходиться. Само по себе это еще не означает, что существует отличная от нуля вероятность того, что частица не будет поглощена. Точный результат (см. разд. 4.7 в [7.7]) состбит в следующем.
Если процесс происходит на интервале (а, оо) и а является поглощающей границей, то вероятность поглощения в состоянии (а — 1) для частицы, находящейся в состоянии л-, рассчитывается так. Определим функцию
М(х) = ?
А 1+(уУ .-.'“ОО J
(7.4.14)
Тогда если М(х) < оо, то искомая вероятность есть М(х)
1 + М(х) ’ (7.4.15)
а если М(х) = оо, то эта вероятность равна единице, и тогда среднее время до поглощения дается формулой (7.4.13).
7.4.2. СРАВНЕНИЕ С УРАВНЕНИЕМ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Формулы (7.4.12, 13) в действительности очень сходны с соответствующими формулами для диффузионного процесса (7.4.1, 2). Используя . модель, приведенную в разд. 7.2.1в, нетрудно показать, что в пределе <5 — 0 они совпадают.