Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
например, скалярное произведение (21.14) может быть написано в виде
(10.16), а сумма (21.18), согласно (21.07),-в виде
я
(21.23)
i, к =о
Из данного тензора можно получить новый не только путем умножения на
другой тензор, но и путем дифференциальных операций. При этом операция
дифференцирования по координате играет роль умножения на ковариангную
составляющую некоторого вектора. Так, например, величина
С= (21,24)
1 dxt jLidx( 4 '
? = 0 0
§ 22]
ПСЕВДО-ТЕНЗОРЫ
89
есгь скаляр, а совокупность величин
3
(21.25)
есть вектор (расходимость тензора Tik). В частности, если
(21.26)
где <р- некоторый скаляр, то составленное по формуле (21.24) вы ражение
также будет скаляром (символ ? означает оператор Даламбера).
Наряду с тензорами удобно вводить в рассмотрение величины, закон
преобразования которых зависит от знака определителя подстановки
По свойству коэффициентов преобразования Лоренца квадрат определителя D
всегда равен единице. Самый же определитель равен D = ztr 1 для
собственных преобразований Лоренца (сохраняющих направление счета времени
и переводящих правую систему пространственных осей в правую же систему) и
равен D = - 1 для несобственных преобразований. Хотя мы условились
рассматривать лишь собственные преобразования Лоренца, для классификации
геометрических величин полезно знать их поведение также и при
несобственных преобразованиях.
Рассмотрим совокупность величин siWm, антисимметричных относительно своих
значков, причем гош = 1. Из этого определения следует, что еШй1 = 0, если
два или больше значков совпадают, зйг,(В =-j-1, если (iklrn) представляет
четную перестановку чисел (0123), и zikim - -1> если (iklrn) есть
нечетная перестановка.
Легко проверить тождество
vr д2([> <?2(р д2у d'^'f
(21.27)
§ 22. Псевдо-тензоры
90 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ [гл. II
В самом деле, левая часть представляет разложение определителя
дх0 дх0 дх0 дх0
дх' дхк дхг дхт
1 ^ № ¦ дх3 дх3 дхп
d*i дх'к дхг дх' илт
который получается из D перестановкой столбцов, если все
значки
(iklm) различны, и который обращается в нуль, если
некоторые из
них совпадают.
Формула (22.02) показывает, что при D- 1 величины г преобразуются, как
составляющие тензора, а при D = - 1 закон преобразования этих величин
отличается от закона преобразования тензора знаком. Совокупность величин
с таким законом преобразования называется псевдо-тензором.
Мы можем рассматривать &ik!m< как ковариантные составляющие
антисимметричного псевдо-тензора четвертого ранга. Конгравариант-ные
составляющие этого тензора получатся по общей формуле
S Шт - eiekejemiiklm. (22.03;
Но так как величины г отличны от нуля только если все значки различны, а
тогда е^кегет = e0e1e.2es - - 1, то будет просто
гшт = __ Зшт. (22.04)
Если <р есть скаляр, то совокупность величин
*iklm
i iklm '
(22.05)
будет антисимметричным псевдо-тензором четвертого ранга. Такой псевдо-
тензор имеет, подобно скаляру, только одну составляющую; поэтому его
принято называть псевдо-скаляром.
Всякому антисимметричному тензору второго ранга Ал можно сопоставить по
формуле
(22.06)
I, /Им 0
антисимметричный псевдо-тензор Aile того же ранга; он называется дуальным
по отношению к данному тензору. В сумме (22.06) только два члена отличны
от нуля, и эти члены друг другу равны. Поэтому мы имеем
/410 = А*,; Л20 = А с
31'
А*> = А1П; Л31 = А;
2>1>
а"° = а12, 1
i-л.. I
(22.07)
БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
91
Подобно этому, антисимметричному тензору третьего ранга AiM можно по
формуле
8
А* - ^ S (22.08)
к, 1,т- 0
сопоставить псевдо-вектор (т. е. псевдо-тензор первого ранга). В сумме
(22.08) отличны от нуля шесть членов, но они между собою равны. Мы
получим для составляющих псевдо-вектора явные выражения
> = -Л123; А'=Ат-, А* = АШ1 А*=Ат. (22.09)
Будем для краткости называть "произведением тензора на тензор" такой
тензор, составляющие которого получаются по правилам § 21 путем
перемножения составляющих двух данных тензоров. Тогда мы можем
сказать, что произведение псевдо-тензора на псевдо-тензор (так же
как и тензора на тензор) будет тензором, тогда как произведение
тензора на псевдо-тензор будет псевдо-тензором. Этим правилом мы
*
фактически уже пользовались при составлении псевдо-тензора Aik и псевдо-
вектора А*.
§ 23. Бесконечно малое преобразование Лоренца
Общее преобразование Лоренца (с переносом начала) имеет вид
х\ = 2 ekaikxk. (23.01)
к = 0
Рассмотрим тот случай, когда преобразование (23.01) бесконечно мало
отличается от тождественного преобразования. В этом случае постоянные at
будут бесконечно малыми, а коэффициенты aik могут Быть написаны в виде
aik - екйгк Ч~ (23.02)
где о>#*- бесконечно малые величины. Чтобы подчеркнуть, что координаты
представляют собой контравариантпый вектор, мы будем в этом параграфе
писать при них верхние значки
х° = ct; х1 - х, х2-у, х'А ~z. (23.03)
Бесконечно малые постоянные, представляющие смещение начала, мы будем
также писать с верхними значками (а* вместо а{). В новых обозначениях
